PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

permis. Elles ont d'ailleurs Tavantage d'être sous une forme trèssimple, qui laisse facilement apercevoir la loi de leurs différents termes.

Quelquefois on aura besoin de recourir aux termes dépendants des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons, et même des puissances et des produits supérieurs. On pourra déterminer ces termes par l'analyse précédente : la considération qui les rend nécessaires facilitera toujours leur détermination. Les approximations dans lesquelles on y aurait égard introduiraient de nouveaux termes qui dépendraient de nouveaux arguments. Elles reproduiraient encore les arguments que donnent les approximations précédentes, mais avec des coefficients de plus en plus petits, suivant cette loi qu'il est aisé de conclure du développement de R en série, donné dans le n^ 48 : un argument qui dans les approximations successives se trouve pour la première fois parmi les quantités d'un ordre quelconque r nest reproduit que par les quantités des ordres r-f-2, r-h4, etc.

Il suit de là que les coefficients des termes de la forme

t. ' . [nt-he] , qui entrent dans les expressions de r, v et s, sont

approchés jusqu'aux quantités du troisième ordre, c est-à-dire que l'approximation dans laquelle on aurait égard aux carrés et aux produits des excentricités et des inclinaisons des orbites n'ajouterait rien à leurs valeurs; elles ont donc toute la précision que Ton peut désirer ; ce qu'il est d'autant plus essentiel d'observer, que de ces coefficients dépendent les variations séculaires des orbites.

Les divers termes des perturbations de r, v, s, sont compris dans la forme

k. \i(nt — nf-f-e — cj-hr/if-f-re ,

r étant un nombre entier positif ou zéro, et k étant une fonction

des excentricités et des inclinaisons des orbites de Tordre r ou d'un ordre supérieur : on peut juger par là de quel ordre est un terme dépendant d'un angle donné.

Il est clair que l'action des corps m", m", etc. ne fait qu'ajouter aux valeurs précédentes de r, v et s, des termes analogues à ceux qui résultent de l'action de m, et qu'en né^igeant le carré de la force perturbatrice, les sommes de tous ces termes donneront les valeurs entières de r, v et s. Cela suit de la nature des formules (A'), {Y) et (Z), qui sont linéaires relativement aux quantités dépendantes de la force perturbatrice.

Enfin on aura les perturbations de m, produites par l'action de m, en changeant dans les formules précédentes a, n, h, l, e, ^, p, q et m, en a, n, h\ ï, e, 'cr', p\ q' et m, et réciproquement.