DES INÉGALITÉS SECULAIRES DES MOUVEMENTS CÉLESTES

53. Les forces perturbatrices du mouvement elliptique introduisent dans les expressions de r, -7- et 5, du chapitre précédent,

le temps t, hors des signes sinus et cosinus y ou sous la forme d'arcs de cercle qui, en croissant indéfiniment, doivent à la longue rendre ces expressions fautives ; il est donc essentiel de faire disparaître ces arcs, et d'avoir les fonctions qui les produisent par leur développement en série. Nous avons donné pour cet objet, dans le chapitre v, une méthode générale de laquelle il résulte que ces arcs naissent des variations du mouvement elliptique, qui sont alors fonctions du temps. Ces variations s' exécutant avec une grande lenteur, elles ont été désignées sous le nom d'inégalités séculaires. Leur théorie est un des points les plus intéressants du système du monde : nous allons la présenter ici avec l'étendue qu'exige son importance.

On a par le chapitre précédent ,

1 — ^.sin. (nf-f-c) — l.cos. (nfn-e) — etc.

. {/.C-f-T. D\ . nt. sin. [nt-i-e)

dv

.\h.C-^K .D\ .nt. COS. (/if-+-e) -+- m. S

nH- 2/1^. sin. (/U-l-e)~h inl.cos. (n(-f-e)-hetc.

— m', j /. C-^Ï.D j .7i*(.sin. (zif-f-e)

m. \h.C-^K.D\ .n*f .cos.(7if-4-e) -hniT,

5= ^.sin. (nf-+-e) — p.cos. (/i(-f-e)-f-etc.

. a'a. [p — p) . B^'^ .nt. sin- (/if -+- e)

.a^a\ [q — q) .B^'\nt. cos. (nf-he)-+-m'. j(^;

5, r, X étant des fonctions périodiques du temps t. Considérons d'abord l'expression de -^, et comparons -la à l'expression de j du n"* 43. L'arbitraire n multipliant l'arc t sous les signes périodiques dans l'expression de ^, on doit alors faire usage des équations suivantes trouvées dans le n** 43 ,

Voyons ce que deviennent ici X, X' , X\ Y, etc. en comparant l'expression de -t-, à celle de j du numéro cité» on trouve

X=/i+2nfc.sin. (nf+e) + 2/i/.cos. (/i(+e)+m'. T,

F=m'.n\{A. C+^'.i) j. cos.(/if+e)— m'./i\{ Z.C+r.Dj -sin- (nt+e).

Si l'on néglige le produit des différences partielles des constantes, par les masses perturbatrices, ce qui est permis, puisque ces différences sont de l'ordre de ces masses, on aura, par le n** 43,

A'= (-Tjû) .{i-f-2fc.sin. (/if-t-e)-f-2/.cos.(nf-He) j

-4-2/1. f-74| . I A.cos. (/if-t-e) — /.sin. (n(-j-e) j

(dh\ . . X làl\ . .

H- 2/1. I^j .sm. (/if-f-e)-f-2/i(-T^| -COS. (/if-+-e),

^"=2/1. 1 jjrj . {A. COS. (/if-Hs) — /. sin.(/if-he) j.