L'équation -y- =o, que nous venons de trouver, est d'une

grande importance dans la théorie du système du monde en ce qu'elle nous montre que les moyens mouvements des corps célestes et les grands axes de leurs orbites sont inaltérables; mais cette équation n'est approchée que jusqu'aux quantités de l'ordre m. h inclusivement. Si les quantités de l'ordre m. h* et des ordres

suivants produisaient dans -y- un terme de la forme 2kt, k étant

une fonction des éléments des orbites de m et de m, il en résulterait dans l'expression de v le terme kt\ qui, en altérant la longitude de m proportionnellement au carré du temps, deviendrait

dn

à la longue extrêmement sensible. On n aurait plus alors -t-=o; mais , au lieu de cette équation , on aurait par le numéro précédent -7- = 2/c; il est donc très-important de savoir s*il existe dans

l'expression de v des termes de la forme k.f. Nous allons démontrer que si l'on n'a égard qu'à la première puissance des masses perturbatrices, quelque loin que l'on porte d'ailleurs les approximations relativement aux puissances des excentricités et des inclinaisons des orbites, l'expression de v ne renfermera point de termes semblables.

Reprenons pour cela la formule (A) du n*" 46,

a.cos.v.fndt. rsin.v. \ 2 .fdR+r. l -^ \ \—a.sm.v.fndt rcos.v. \ 2 .JàR+r. ( -j- ) {

Considérons la partie de Sr, qui renferme des termes multipliés par t*, ou, pour plus de généralité, considérons les termes qui, étant multipliés par le sinus ou par le cosinus d'un angle af+ê, dans lequel a est très -petit, ont en même temps a* pour diviseur. Il est clair qu'en supposant a ^o, il en résultera un terme multiplié par t\ en sorte que ce second cas renferme le premier. Les termes qui ont a' pour diviseur ne peuvent évidemment résulter que d'une double intégration; ils ne peuvent donc être produits que par la partie de Sr qui renferme le double signe intégral /. Examinons d'abord le terme

Si l'on fixe l'origine de l'angle v au périhélie , on a dans l'orbite elliptique, par le n"* 20,

i+e. cos.i;