PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

et par conséquent,

cos.î;= — ^ ^ — ;

d*où Ton tire en difTérentiant,

r^dv. siu.v= —^ -.dr;

mais on a par le n° 19

r*.dv=dt.^^a[i — e*)=a*.ndt.\i-—e^; on aura donc

andt.r.sin.v rdr

, . "ia.cos.v.fndtAr.sin.v.fdR] -, . -,

Le terme ^ — — ' — «^ deviendra ainsi

"LSSîl^.fi^rdr.fdR), ou £^!i^.|r'./dfi— /rVdjRj.

Il est visible que cette dernière fonction ne renfermant plus de doubles intégrales, il ne peut en résulter aucun terme qui ait a' pour diviseur.

Considérons présentement le terme

2a. sin.v. fndt. \r. cos.v.fdR \

de l'expression de Sr. En substituant pour cos.v, sa valeur précédente en r, ce terme devient

2a.sin. y. fndt. \r—a.{i—e*)\fdR

fte.y/i— e* On a par le n" 22

j(^' étant une suite infinie de cosinus de Tangle nt-he et de ses multiples; on aura donc

Jndt.\r-a{^-e^)\fdR ^a.fndt.\^e-^x'\-fàR-

Nommons yj l'intégrale fy^' ndt; on aura ï«

aJndt.\\e+x\fàR=h^^J^dtJàR+axJàR-a.fx.àR'

Ces deux derniers termes ne renfermant point le double signe intégral, il ne peut en résulter aucun terme qui ait a' pour diviseur; en n'ayant donc égard qu'aux termes de ce genre, on aura

2a.sm.v.fndt.\r.cos.v.fdR\ ia^e.sin.v.fndt.fdR dr Sa ^ , fAn.

(x.^i—e* ii.Sji—e^ ndt (i

et le rayon r deviendra

(r) et (— 7t) étant les expressions de r et de— 7-, relatives.au

mouvement elliptique. Ainsi, pour avoir égard, dans l'expression

du rayon vecteur, à la partie des perturbations qui est divisée

3a par a\ il suffit d'augmenter de la quantité — .fndt.fàR, la Ion-

gitude moyenne 7if-f-e, de cette expression relative au mouvement elliptique.

Voyons comment on doit avoir égard à cette partie des perturbations dans l'expression de la longitude v. La formule [Y) du

n° 46 donne en y substituant — .—r-.fndt.fdR au lieu de âr, et en n'ayant égard qu'aux termes divisés par a',

2rddr+dr*

âv= ; ^. — .fndt.faR;