PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

or on a, par ce qui précède,

j ae.ndt.ûn.v ,j , j^^l ^

ar= — , r*av = a*/iaf.yi — ^';

d'où il est facile de conclure, en substituant pour cos. v sa valeur l^récédente en r,

2rddr+dr* a^n*dt^ dv

Vi—e* ndt

en n ayant donc égard qu'à la partie des perturbations qui a pour diviseur œ\ la longitude v deviendra

[v) et ( —7- j étant les parties de v et de —j- , relatives au mouvement elliptique. Ainsi , pour avoir égard à cette partie des perturbations, dans l'expression de la longitude de m, on doit suivre la même règle que nous venons de donner pour y avoir égard dans l'expression du rayon vecteur; c'est-à-dire qu'il faut augmenter, dans l'expression elliptique de la longitude vraie , la lon-

3a gitude moyenne nt-he delà quantité — .fndt.fàR.

La partie constante de l'expression de (— tt-), développée en

série de cosinus de l'angle nt-he et de ses multiples, se réduisant

à l'unité, comme on l'a vu dans le n° 22, il en résulte dans l'ex-

3a pression de la longitude le terme — .fndt.fàR. Si àR renfer-

mait un terme constant km. ndt, ce terme produirait dans Tex-

pression de la longitude v le suivant |- . - — .knU\ L'existence de

semblables termes dans cette expression se réduit donc à voir si diî renferme un terme constant.

Lorsque les orbites sont peu excentriques et peu inclinées les unes aux autres, on a vu, n° 48, que R peut toujours se réduire dans une suite infinie de sinus et de cosinus d'angles croissant proportionnellement au temps t. On peut les représenter généralement par le terme km.cos.\int-hint-\-'A\y i et i étant des nombres entiers positifs ou négatifs, ou zéro. La différentielle de ce terme, prise uniquement par rapport au moyen mouvement de m, est — ik.m.ndt.sin.\int'i-'int-hA\; c'est la partie de dR relative à ce terme : elle ne peut pas être constante , à moins que Ton n'ait = 1' ai' -h in, ce qui suppose les moyens mouvements des corps m et m commensurables entre eux ; et comme cela n'a point lieu dans le système solaire, on doit en conclure que la valeur de dR ne renferme point de termes constants, et qu'ainsi, en ne considérant que la première puissance des masses perturbatrices, les moyens mouvements des corps célestes sont uniformes, ou, ce qui revient au même ^ = o. La valeur de a étant liée à celle de n au moyen de l'équation 71*= ^ , il en résulte

que si l'on néglige les quantités périodiques , les grands axes des orbites sont constants.

Si les moyens mouvements des corps m et m, sans être exactement commensurables, approchent cependant beaucoup de l'être, il existera dans la théorie de leurs mouvements des inégalités d'une longue période, et qui pourront devenir fort sensibles à raison de la petitesse du diviseur a\ Nous verrons dans la suite que ce cas est celui de Jupiter et de Saturne. L'analyse précédente donnera d'une manière fort simple la partie des perturbations qui dépend de ce diviseur. Il en résulte qu'il suffit alors de faire varier la longitude moyenne nt-he ou fndt, de la quantité — fndt.fdR; ce qui revient à faire croître n, dans l'intégrale fndt, de la quantité -/diî; or, en considérant l'orbite