PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

(^ sera un maximum. De plus, (p étant une fonction homogène de ces variables , de la seconde dimension , on a

on a donc <p=zOj en vertu des équations précédentes.

Présentement on peut déterminer ainsi le maximum de la fonction (p : on différentiera d*abord cette fonction relativement à N, et Ton substituera dans (p, au lieu de iV, sa valeur tirée de Téqua-

tion |-7^|=:o, valeur qui sera une fonction linéaire des quantités N\ N\ etc. on aura de cette manière une fonction rationnelle, entière et homogène de la seconde dimension , en N\ N\ etc. soit <p^'^ cette fonction. On différentiera <p^^^ relativement à N\ et Ton substituera dans <p^'\ au lieu de N', sa valeur tirée de l'équation |^^J = o : on aura une fonction homogène et de la

seconde aimension , en N", N", etc. soit 9^*^ c^tte fonction. En continuant ainsi, on parviendra à une fonction (p^'—'^ de la seconde dimension, en iV^'~'^ et qui sera, par conséquent, de la forme (JY^*""*^)*. A; k étant une fonction de g et de constantes. Si Ton égale à zéro la différentielle de ^^'—'^ prise par rapport à N^'~'\ on aura fc=o; ce qui donnera une équation en g du degré i, et dont les diverses racines donneront autant de systèmes différents pour les indéterminées iV, iV', N\ etc. l'indéterminée jy(i— 1) g^r^ l'arbitraire de chaque système, et l'on aura sur-lechamp le rapport des autres indéterminées iV, N\ etc. du même système à celle-ci, au moyen des équations précédentes, prises dans un ordre inverse, savoir :

G , etc.

Soient g, g^^g^^ etc. les i racines de l'équation en g; soient iV, N\

N\ etc. le système des indéterminées relatif à la racine g; soient iV,, N'y N^y etc. le système des indéterminées relatif à la racine g, , et ainsi de suite: on aura, par la théorie connue des équations différentielles linéaires ,

h=N .s\n.[gt+^)+N,.sïr\.[g,t+%,)+N^.sm.[g^t+%^) +etc.

A=iV'.sin. (^ff+g) +iV/.sin. (^,f+ê,) +iV/. sin. [g^t + €,) +etc.

K=N\ sin. [gt+^) +iV;.sin. {g^+^^) +N,\ sin. {gj + ê.) +etc. etc.

^f^iy^ty etc. étant des constantes arbitraires. En changeant dans ces valeurs de h, Ky h" y etc. les sinus en cosinus, on aura les valeurs de /, ïy l'y etc. Ces différentes valeurs renferment deux fois autant d'arbitraires qu'il y a de racines g, giy g%j etc. car chaque système d'indéterminées renferme une arbitraire , et de plus il y a i arbitraires ê, ê^, ê,, etc. ces valeurs sont par conséquent les intégrales complètes des équations [A) du numéro précédent.

Il ne s'agit plus maintenant que de déterminer les constantes N, N,, etc. N'y N',, etc. ê, ê», etc. Les observations ne donnent point immédiatement ces constantes, mais elles font connaître, à une époque donnée, les excentricités e, e, etc. des orbites, et les longitudes tsr, tsr', etc. de leurs périhélies; et par conséquent les valeurs de h, h y etc. /, l'y etc. on en tirera ainsi les valeurs des constantes précédentes. Pour cela , nous observerons que si l'on multiplie la première, la troisième, la cinquième, etc. des équations différentielles [A) du numéro précédent, respectivement par

N.m. sfây N'. m. \fûly etc. on aura, en vertu des équations [B] , et des relations trouvées, dans le numéro précédent, entre (0,1) et (1,0), (o, 2) et (3,0), etc.

iV. ^.m.v/^-+-iV'.^'.m'.v/?-hiV'.^'.m".\/?-hetc.

= ^. { iV. / . m . v/ a"-4- iV'. /'. m'. V^H- iV'. r. w". Vâ'-h etc. ! .