PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

Si Ton substitue dans cette équation, au lieu de h, h, etc. /, ï, etc. leurs valeurs précédentes, on aura, en comparant les coefficients des mêmes cosinus ,

o=N.N,.m. \/â-+- N\ iV/. m.\fcl-^N\ N". rn.\/â"-+- etc.

G z==z JV. iV.. m . v^-f- iV^ iV/.m\ v^-^iV^ iV;- m\ \/7 + etc^ etc.

Cela posé, si Ton multiplie les valeurs précédentes de h, h\ etc.

respectivement par N. m . ^a, iV'. m. \/cl, etc. on aura , en vertu de ces dernières équations,

N. mh.sfâ'^'N' . mh\\ft-^N\mh\\/^-h etc.

= I N\ m. \/â-^iV\ m! . \/7-^iV\ rn. v/ûT'-i- etc. } . sin. (^f-hê ).

On aura pareillement

N.ml. \/â-j- N\ m7'. v/ô'-H N\ mT. \/7 -+- etc.

= { iV\ m , v^^- iV\ m\ v/^' -}- iV'^ m^ v^ -}- etc. j . COS. (^f -4^

En fixant Torigine du temps t, à l'époque pour laquelle les valeurs de fc, /, h, ly etc. sont supposées connues, les deux équations précédentes donnent

^ N.hm.K/â+N^h'm^sJâ^+N'.h'm^s/â'+etc.

tang. 6= ^^ ^ ^ .

7V./m.\/a + /V^/'m^\/a'+A^^Z'^ln^\/7+etc.

Cette expression de tang. ê ne renferme point d'indéterminée; car quoique les constantes N, N\ N\ etc. dépendent de l'indéterminée N^'^^\ cependant, comme leurs rapports à cette indéterminée sont connus par ce qui précède , elle disparait de l'expression de tang. ê. Ayant ainsi déterminé ê , on aura N^'^'\ au moyen de l'une des deux équations qui donnent tang. ê, et Ton en conclura le système des indéterminées N, N\ N\ etc. relatif à la racine gf.

TOXB I. 44

En changeant dans les expressions précédentes cette racine sucr cessivement en g,^ g^^ g^^ etc. on aura les valeurs des arbitraires relatives à chacune de ces racines.

Si Ton substitue ces valeurs dans les expressions de h, /, h\ l\ etc. on en tirera les valeurs des excentricités e , e, etc. des orbites , et des longitudes tsr, ^\ etc. de leurs périhélies, au moyen des équations

e'=h'-hl\ e' -= h' - j- V' , etc.

tang. ^= jy tang. tïT == -p , etc.

on aura ainsi

e^^N'+N,'-hN,'+etc. + 2 NN, . cos. | {g,- g) . f + ê, - € j

+2iViV,.cos.t(5f,— ^).f+ê,--êj+2iV»A^,.cos.i(^,--^,).f+ê— 6,}+

Cette quantité est constamment plus petite que (iV+iV,+iV,+ etc.)*, lorsque les racines ^, ^i, etc. sont toutes réelles et inégales, en prenant positivement les quantités iV, iV^, etc. On aura pareillement

__ N.sm.{gt+e)+N^.sin.{gJ+6,)+Nt.sin.{gJ+e^)+etc. ^ ^' ""A\cos.(5ff+6)+iV,.cos.(y,/+6,)+A^,.cos.(gf,(+6,)+etc.'

d'où il est facile de conclure

tane ftJ at ^]= -^>'S^'^'l(gi---g)'<+^-^l+^vsi^-l(g~g)'^+^~^l+etc.

^'^ ^ ' N+N,.cos.\{g,'-g)J+e,^6\+N,.cos]{gr-gYt+6^--e\+eic.'

Lorsque la somme N^-^N^-h etc. des coefficients des cosinus de ce dénominateur, pris tous positivement, est moindre que N, tang. (tïT— ^f— ê) ne peut jamais devenir infini; l'angle tïT—^t— S ne peut donc jamais alors atteindre le quart de la circonférence, en sorte que le vrai moyen mouvement du périhélie est, dans ce cas, égal à gt.

57. Il suit de ce qui précède que les excentricités des orbites et les positions de leurs grands axes sont assujetties à des varia-