PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

tions considérables qui changent, à la longue, la nature de ces orbites, et dont les périodes, dépendantes des racines g, g^g^y etc. embrassent, relativement aux planètes, un grand nombt'e de siècles. On peut ainsi considérer les excentricités comme des ellipticités variables, et les mouvements des périhélies comme n'étant pas uniformes. Ces variations sont très-sensibles dans les satellites de Jupiter, et nous verrons dans la suite qu elles expliquent les inégalités singulières observées dans le mouvement du troisième satellite. Mais les variations des excentricités ont-elles des limites, et les orbites sont-elles constamment peu différentes du cercle? C'est ce qu'il importe d'examiner. Nous venons de voir que si les racines de l'équation en g sont toutes réelles et inégales, Texcentricité e de l'orbite de m est toujours moindre que la somme iV-hiVi-hiV,-f- etc. des coefficients des sinus de l'expression de h pris positivement; et comme ces coefficients sont supposés fort petits, la valeur de e sera toujours peu considérable. En n'ayant donc égard qu'aux variations séculaires, on voit que les orbites des corps m, m, rn, etc. ne feront que s'aplatir plus ou moins, en s'éloignant peu de la forme circulaire; mais les positions de leurs grands axes éprouveront des variations considérables. Ces axes seront constamment de la même grandeur, et les moyens mouvements qui en dépendent seront toujours uniformes, comme on Ta vu dans le n'' 54. Les résultats précédents, fondés sur le peu d'excentricité des orbites, subsisteront sans cesse et pourront s'étendre à tous les siècles passés et à venir; en sorte que l'on peut alors affirmer que dans aucun temps les orbites des planètes et des satellites n'ont été et ne seront considérablement excentriques, du moins si l'on n'a égard qu'à leur action mutuelle. Mais il n'en serait pas de même si quelques-unes des racines g, g^, ^,, etc. étaient égales ou imaginaires : les sinus et les cosinus des expressions de h, 1, h', l\ etc. correspondants à pes racines se changeraient alors en arcs de cercle ou en expo-

nentielles, et comme ces quantités croissent indéfiniment avec le temps, les orbites finiraient à la longue par être fort excentriques? la stabilité du système planétaire serait alors détruite, et les résultats que nous avons trouvés cesseraient d'avoir lieu. Il est donc très-intéressant de s'assurer que les racines g, ^,, ^,, etc. sont toutes réelles et inégales. C'est ce que l'on peut démontrer d'une manière fort simple pour le cas de la nature dans lequel les corps m, m, m\ etc. du système circulent tous dans le même sens.

Reprenons les équations [A) du n'' 55. Si l'on multiplie la première par m.yâ.h, la seconde, par m.\fâ.ly la troisième, par m.ya!.h, la quatrième, par m.^a.V, etc. et qu'ensuite on les ajoute ensemble, les coefficients de hl, KVy Kl\ etc. seront nuls dans cette somme; le coefficient de Kl — hV sera [ô7ï].m.\/a — [TTô] . jn. y/g , et il sera nul en vertu de l'équation W^^'ni .\[a=^\^.m .\fôï'y trouvée dans le n° 55. Les coefficients

de h"l — hl\ K'V — liTy etc. seront nuls par la même raison; la somme des équations [A] ainsi préparées se réduira donc à l'équation suivante :

( hdh+id i\ /- , (h'dK+vdr\ , /-7 , ,

( jT j.m.ya-hl j- \.m.\ja -h etc. = o,

et par conséquent à celle-ci,

o=ede.7n.^a-hede.m.^a-+- etc.

En intégrant cette équation et en observant que par le n*" 54 les demi-grands axes a, a, etc. sont constants, on aura

c\m.\/a-j-e\m\\/a -f-/\m^Y/a -hetc.==constante. (u)

Maintenant, les corps m, m', m", etc. étant supposés circuler dans le même sens, les radicaux y/a, y/?, \/â^', etc. doivent être pris