PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

positivement dans l'équation précédente, comme on Ta vu dans le n? 55; tous les termes du premier membre de cette équation sont donc positifs , et, par conséquent, chacun d'eux est moindre que la constante du second membre; or, en supposant à une époque quelconque les excentricités très-petites, cette constante sera fort petite; chacun des termes de l'équation restera donc toujours fort petit et ne pourra pas croître indéfiniment; les orbites seront toujours à fort peu près circulaires.

Le cas que nous venons d'examiner est celui des planètes et des satellites du système solaire, puisque tous ces corps circulent dans le même sens et qu'à l'époque où nous sommes leurs orbites sont peu excentriques. Pour ne laisser aucun doute sur ce résultat important, nous observerons que si l'équation qui détermine g renfermait des racines imaginaires, quelques-uns des sinus et des cosinus des expressions de A, Z, h\ l, etc. se changeraient en exponentielles; ainsi l'expression de h contiendrait un nombre fini de termes de la forme P. c^', c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, et P étant une quantité réelle, puisque h ou e.sin.'cr est une quantité réelle. Soient Q.c^*, P'.c^', Q.cf\ P^.c-f', etc. les termes correspondants de /, h\ /', h\ etc. Q, P\ Q, P", etc. étant encore des quantités réelles : l'expression de e' renfermera le terme (P'-t-Q*) .c*-^'; l'expression de e* renfermera le terme (F'-f-Q'*) . c*/', et ainsi de suite; le premier membre de l'équation (a) renfermera donc le terme

Si l'on suppose que c/* soit la plus grande des exponentielles que contiennent h, l, h', /', etc. c'est-à-dire celle dans laquelle /est le plus considérable, c*-/^' sera la plus grande des exponentielles que renfermera le premier membre de l'équation précédente : le terme précédent ne pourra donc être détruit par aucun autre terme de ce premier membre; ainsi, pour que ce membre se réduise à une

constante, il faut que le coefficient de c"/^ soit nul, ce qui donne

o = (P+ (?) . m . \/â+ (P V Q') . m. \fd+ [F'-^ Q') . m. \/d'+ etc.

Lorsque \/â, \fcly yjd\ etc. ont le même signe, ou, ce qui revient au même, lorsque les corps m, m\ rn, etc. circulent dans le même sens, cette équation est impossible, à moins que Ton ne suppose P==o, Q=o, P = o, etc. d'où il suit que les quantités h, l, K, Vy etc. ne renferment point d'exponentielles, et qu'ainsi l'équation en g ne contient point de racines imaginaires.

Si cette équation avait des racines égales, les expressions de A, /, Ky Vy etc. renfermeraient, comme l'on sait, des arcs de cercle, et l'on aurait dans l'expression de h un nombre fini de termes de la forme P. t\ Soient Q.t% P'.r, Q. V, etc. les termes correspondants de /, h! y Vy etc. P, Q, P', Q', etc. étant des quantités réelles; le premier membre de l'équation (m) renfermera le terme

Si r est la plus haute puissance de t que contiennent les valeurs de A, ly h! y l\ etc. f'^ sera la plus haute puissance de f, renfermée dans le premier membre de l'équation (a); ainsi, pour que ce membre puisse se réduire à une constante, il faut que l'on ait

o = (P-+-(?) . m . v/â-+- [F'-\-Q') . m. \Ja-^ etc.

ce qui donne P--o, P = o, Q=o, etc. Les expressions de A, /, Ky Vy etc. ne renferment donc ni exponentielles ni arcs de cercle, et, par conséquent, toutes les racines de l'équation en g sont réelles et inégales.

Le système des orbites de m , m', m", etc. est donc parfaitement stable relativement à leurs excentricités ; ces orbites ne font qu'osciller autour d'un état moyen d'ellipticité , dont elles s'écartent peu en conservant les mêmes grands axes : leurs excentricités