PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME
sont toujours assujetties à cette condition, savoir, que la somme de leurs carrés multipliés respectivement par les masses des corps , et par les racines carrées des grands axes, est constamment la même.
58. Lorsque l'on aura déterminé, par ce qui précède, les valeurs de é? et de 'CT, on les substituera dans tous les termes des
expressions de r et ^, données dans les numéros précédents, en
eflPaçant les termes qui renferment le temps t, hors des signes sinus et cosinus. La partie elliptique de ces expressions sera la même que dans le cas de l'orbite non troublée, avec la seule différence que l'excentricité et la position du périhélie seront variables; mais les périodes de ces variations étant fort longues, à raison de la petitesse des masses m, m, m\ etc. relativement àiW, on pourra supposer ces variations proportionnelles au temps, pendant un grand intervalle qui, pour les planètes, peut s'étendre à plusieurs siècles avant et après l'époque où l'on fixe l'origine du temps. Il est utile, pour les usages astronomiques, d'avoir sous cette forme les variations séculaires des excentricités et des périhélies des orbites : on peut facilement les conclure des formules précédentes. En effet, l'équation e*=h^-+-l\ donne ede=hdh-\-ldl; or, en n'ayant égard qu'à l'action de m, on a, par le n° 55,
= (o, l)./ Ot 1 ./,
dt
-TT ""= (o' • ^H- ElD • '*'>
partant
ede
lu
mais on a Kl — hl!=:^ee.sui. ('cr' — ^m) ; on aura donc
de
dt
ôTî] e . sin. [^' — 'cr).
Ainsi, en ayant égard à l'action réciproque des différents corps m', T(i , etc. on aura
de lit'' de[ dt "
de^ If'
etc.
. e. sin. ["cs' — tsr) -f- [ôTâ] . /. sin. ["&" — ^cs) -+- etc.
[Tô] . e . sin. (tïT — 'Ct') -+- [TJ] . e\ sin. [^ — ^cs') -t- etc. [TTô] . e . sin. [^ — ^ct") -t- [âTT] . c . sin. (tsr' — ^'') -h etc.
L'équation tang.tïT^ j donne, en la différentiant,
e*,d^ = l . dh — h . dL
En n'ayant égard qu'à l'action de m', en substituant, pour dh et dl, leurs valeurs, on aura
tar
dt
(o. 1) . (A* -4- /* ) — [03 . { hh'-+- lï \ ;
ce qui donne
dt
(o, 1) — [ôTî] . — . COS. ['US — tsr ) ;
on aura donc, en vertu des actions réciproques des corps m, m', m\ etc.
dtar' It
etc.
= (0,1) +(0,2) +etc.—
ôTT] . — . COS. (tsy'— -cr)
. — .COS. [m"—^]—eic.
= (1,0) +(1,2) +etc. — [ïTô] .-7-, COS. (tïT— tïT') — [TT2] .-^.cos. ('Ct''— tïT')— etc.
= (2, o) + (2, 1) -h etc. — [2TÔ] . —^ . COS. ('CT — tïT") — [2TÎ] . — j7 . COS. (tsy'
