PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

nous avons fait usage dans le n° 56, pour intégrer les équations (i4), s'applique aux équations (C). On supposera donc

q =N .COS. [gt+è) + N,. COS. (^if+ê,) + iV,.cos. (^,f + ê,) + etc. p =iV"-sin. [gt+S)+N^.sin. [g,t+è,) + N,.s\n. {g,t+è,) +etc. ^'=iV'.cos. (^f+ê)+iV/.cos. {gj+ê,) + N,'.cos.{gj-h^,)+etc. p=N'. sin. (^ft+êj+iV/- sin. (5f,f+g,) + iV*/.sin. {g,t+è,) + etc. etc.

et l'on aura, par le n'' 56, une équation en g du degré i, et dont les diverses racines seront^, g^ g^j etc. Il est facile de voir qu'une de ces racines est nulle, car il est clair que l'on satisfait aux équations (C), en y supposant p, p, p", etc. égaux et constants, ainsi que q, q, q\ etc. ce qui exige que l'une des racines de l'équation en g soit zéro, ce qui l'abaisse au degré i — i. Les arbitraires iV, iV», N\ etc. ê, êj, etc. se détermineront par la méthode exposée dans le n'' 56. Enfin on trouvera, par l'analyse du n^ 57,

const. = (p' -h ^') .m.\/â-h(p'*H-9'*) .rn.\Ja-\-eic.

d'où l'on conclura, comme dans le numéro cité, que les expressions de p, q, p, q\ etc. ne renferment ni arcs de cercle ni exponentielles, lorsque les corps m, m, rn, etc. circulent dans le même sens, et qu'ainsi l'équation en ^ a toutes ses racines réelles et inégales.

On peut obtenir deux autres intégrales des équations (C) : en eflFet, si l'on multiplie la première de ces équations par m.sja, la troisième par m.\fay la cinquième par rn.ya, etc. on aura, en vertu des relations trouvées dans le n'' 55 ,

o = -T~ . m .\/a -f- ^ . 7n'.\/a H- etc.

ce qui donne, en intégrant,

constante = q .m.^a-\-q. rn.\fa -+- etc. ( i )

On trouvera de la même manière

constante =/) . m .\/â-h/>'. m'.\/a-h etc. (2)

Nommons (^ Tinclinaison de l'orbite de m sur le plan fixe, et 6 la longitude du nœud ascendant de cette orbite sur le même plan: la latitude de m sera, à très-peu près, tang, (^.sin. [nt-h-e — d). En comparant cette valeur à celle-ci, ^.sin. (/if+e)— />-cos. (/if+e), on aura

p = tang. (p .sin. 6, ^=tang. (^ «cos. 6;

d'où l'on tire

tang.(p=\/p"-4-9S tang.0=^;

on aura donc l'inclinaison de l'orbite de m et la position de son nœud, au moyen des valeurs de p et de (j. En marquant successivement d'un trait, de deux traits, etc. relativement à m, rn, etc. les valeurs de tang. ^ et de tang. 6, on aura les inclinaisons des orbites de m, rn, etc. et les positions de leurs nœuds, au moyen des quantités p, q\ p\ (\\ etc.

La quantité \/^*+^est moindre que la somme iV+ iVi+iV,-r etc. des coefficients des cosinus de l'expression de ^; ainsi, ces coefficients étant fort petits , puisque l'orbite est supposée peu inclinée au plan fixe, son inclinaison sur ce plan sera toujours peu considérable; d'où il suit que le système des orbites est aussi stable, relativement à leurs inclinaisons, que par rapport à leurs excentricités. On peut donc considérer les inclinaisons des orbites comme des quantités variables comprises entre des limites déterminées, et les mouvements des nœuds, comme n'étant pas uniformes. Ces variations sont très-sensibles dans les satellites de Jupiter, et nous verrons, dans la suite, qu'elles expliquent les phénomènes singuliers observés dans l'inclinaison de l'orbite du quatrième satellite.