PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

Des expressions précédentes àe p et (j résulte ce théorème.

Que Ton imagine un cercle dont Tinclinaison au plan fixe soit N, et dont gt-h^ soit la longitude du nœud ascendant; que sur ce premier cercle on imagine un second cercle qui lui soit incliné iV,, et dont ^fif-hê, soit la longitude de son intersection avec le premier cercle; que sur ce second cercle on imagine un troisième cercle qui lui soit incliné de iV,, et dont gj-h^^ soit la longitude de son intersection avec le second cercle, et ainsi de suite ; la position du dernier cercle sera celle de l'orbite de m.

En appliquant la même construction aux expressions de h et de / du n'' 56, on voit que la tangente de l'inclinaison du dernier cercle sur le plan fixe est égale à l'excentricité de l'orbite de m, et que la longitude de l'intersection de ce cercle avec le même plan est égale à celle du périhélie de l'orbite de m.

60- Il est utile, pour les usages astronomiques, d'avoir les variations différentielles des nœuds et des inclinaisons des orbites. Pour cela reprenons les équations du numéro précédent :

tang,9=\//>'-h9*, tang. 9=^.

En les difFérentiant, on aura

d(p= dp. sin.d+dq.cos.d,

i/j dp.cos.O—dq.sin.O

tang.(p

Si l'on substitue, pour dp et dq, leurs valeurs données par les équations (C) du numéro précédent, on aura

^ = (o.i)tang.9'sin.(0-9')+(o,a).tang.9".sin.(9-0') + etc.

-^ = -\ (o,.) + (c) + etc. } +(o.,) . J^^.cos. [d-d)

+ (o , ,) . l^îM! . COS. (e-d") + etc.

^ ^ tang.(p ^ ^

on aura pareillement

^ = (. .o) . tang. (^ . sin. (ô'-0) + (. . î) . tang. 9". sin.(ô'-ô'') + etc. ^' = -{ (.,o) + (..,)+ etc. I +(..o). î^. cos.(ô'-l9)

etc.

Les astronomes rapportent les mouvements célestes à l'orbite mobile de la terre : c'est , en effet , du plan de cette orbite que nous les observons; il importe donc de connaître les variations des nœuds et des inclinaisons des orbites relativement à l'écliptîque- Supposons ainsi que l'on veuille déterminer les variations différentielles des nœuds et des inclinaisons des orbites, relativement à l'orbite de l'un des corps m, ni, rn, etc. par exemple, à l'orbite de m. Il est clair que (].sin.[nt-he') — p-cos. [nt-he) serait la latitude de m au-dessus du plan fixe s'il était en mouvement sur l'orbite de m. Sa latitude au-dessus du même plan est (j'.s\n.[nt-he) — p.cos.[nt-^e); or la différence de ces deux latitudes est à très-peu près la latitude de m au-dessus de l'orbite de m; en nommant donc ^^' l'inclinaison, et 0' la longitude du nœud de l'orbite de m! sur l'orbite de m, on aura, par ce qui précède,

tang. (p;= >^ip'-py^{c,'-<jY, tang.0;= ^.

Si l'on prend pour plan fixe celui de l'orbite de m à une époque donnée, on aura, à cette époque, p=o, 9=0; mais les différentielles dp et dq ne seront pas nulles; ainsi l'on aura

d(pl= {dp—dp).sin.6'-]-{d(j'—d(i).cos.6\

,^/ (Jp'— dp) . COS. 0'— [dq'-d<i) . sin. 6'

' tang.^