PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME. 35Ô
En substituant, pour dp, dq, dp, dq, etc. leurs valeurs données par les équations (C) du numéro précédent, on aura
^ = j(..,)(o..)|.tang. f. sin. {d'—&')
|(. .3) — (0,3)}. tang.(^*. sin. {$'—6') -h etc.
dO '
jf-= — |('.o)-H(«. »)-!-{«. 3)-+- etc.j — (0,1)
H-t(..3)-(o.3) |. J^.CO8.(9'-0'')^-etC.
Il est facile de conclure de ces expressions les variations des nœuds et des inclinaisons des orbites des autres corps m\ m", etc. sur l'orbite mobile de m.
61. Les intégrales, trouvées précédemment, des équations difierentielles qui déterminent les variations des éléments des orbites, ne sont qu'approchées, et les relations qu elles donnent entre tous ces éléments n'ont lieu qu'en supposant les excentricités des orbites et leurs inclinaisons fort petites. Mais les intégrales (4) , (5) , (6) et (7), auxquelles nous sommes parvenus dans le n** 9, donnent ces mêmes rapports, quelles que soient les excentricités et les
inclinaisons. Pour cela , nous observerons que — ^-rj- — est le
double de Taire décrite durant l'instant dt, par la projection du rayon vecteur de la planète m, sur le plan des x et des y. Dans le mouvement elliptique, si l'on néglige la masse de la planète vis-à-vis de celle du soleil, prise pour l'unité, on a, par les n~ 19 et 20, relativement au plan de l'orbite de m.
Pour rapporter au plan fixe l'aire sur l'orbite, il faut la multi-
plier par le cosinus de rinclinaison <p, de l'orbite àxe plan; on aura donc, par rapport à ce plan,
^^^9^=-?-VMï^=v/|§ï'
on aura pareillement
dt
Y i+tang*.(p"
xd/—ydx i ^ -y- - ,
•^ '^ — ^ ' ^ ' etc.
Ces valeurs de xdy — ydx, xdy — ydx\ etc. peuvent être employées lorsque Ton fait abstraction des inégalités du mouvement des planètes, pourvu que l'on considère les éléments e, e\ etc. (p, (p', etc. comme variables, en vertu des inégalités séculaires; l'équation (4) du n** 9 donnera donc alors
■ s ^,^' { {x'-x).{dy-dy)-(y^-y).{dx'-dx) )
[ dt y
En négligeant ce dernier terme, qui reste toujours de l'ordre mm\ on aura
f^ÂEîK^rn' , /ZIÎE3 ^^ etc
• V i+tang«.(p ^ ^ • V i+tang*.(p' ^ ^^^•
Ainsi, quels que soient les changements que la suite des temps apporte aux valeurs de e, e, etc. (p, (p', etc. en vertu des variations séculaires, ces valeurs doivent toujours satisfaire à l'équation précédente.
Si l'on néglige les quantités très-petites de l'ordre e* ou e* ^*, cette équation donnera
c = m. \/a -f- m'. \/a -+- etc.
— |.m.V^.{e"-i-tang*.9|--|.m'.V^'.ie'*-}-tang'.9'}— etc.
et, par conséquent, si 1 on néglige les carrés de e, e', <p, etc. on aura m.\/a -h m. sfi-h etc. constant. On a vu précédemment que si Ton n'a égard qu'à la première puissance de la force perturbatrice, a, à, etc. sont constants séparément; l'équation précédente donnera donc, en négligeant les quantités très-petites de l'ordre e\ ou e* (p\
Dans la supposition des orbites presque circulaires et peu inclinées les unes aux autres , les variations séculaires des excentricités des orbites sont, par le n** 55, déterminées au moyen d'équations différentielles indépendantes des inclinaisons, et qui par conséquent sont les mêmes que si les orbites étaient dans un même plan; or on a, dans cette hypothèse, (p=zo^ ^'=o, etc. l'équation précédente devient ainsi ,
const.=:e*. m . ^a-he\ rn .\à! --h e* . rn. ^a-h etc.
équation à laquelle nous sommes déjà parvenus dans le n** 57.
Pareillement, les variations séculaires des inclinaisons des orbites sont, par le n"" 59, déterminées au moyen d'équations différentielles indépendantes des excentricités , et qui par conséquent sont les mêmes que si les orbites étaient circulaires; or on a, dans cette hypothèse, e=o^ e = Oj etc. partant, on aura
const.=m.\/a.tang*.9H-'w'.\/a'. tang^^'-f-m^ ^a. tang\^''-f-etc.
équation à laquelle nous sommes parvenus dans le n"" 59. Si l'on suppose , comme dans ce dernier numéro ,
p=iàng. ^.sin.d, ç=tang. (p.cos.0,
il est facile de s'assurer que, l'inclinaison de l'orbite de m sur le plan des x et des y étant (p, et la longitude de son nœud ascen-
