PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

des moyens mouvements de ces corps peut introduire dans les expressions des grands axes des orbites , considérées comme variables, des inégalités dont les arguments, proportionnels au temps, croissent avec beaucoup de lenteur, et qui, ayant pour diviseurs les coefficients du temps t, dans ces arguments, peuvent devenir sensibles. Or il est visible qu'en n'ayant égard qu'aux termes qui ont de semblables diviseurs, et en considérant les orbites comme des ellipses dont les éléments varient à raison de ces termes, les intégrales (4)i (5), (6) et (7) du n** 9, donneront toujours les relations que nous venons de trouver entre ces éléments, parce que les termes de Tordre mm que nous avons négligés dans ces intégrales , pour en conclure ces relations , n'ont point pour diviseurs les très-petits coefficients dont nous venons de parler, ou, du moins, ils ne les renferment que multipliés par une puissance des forces perturbatrices, supérieure à celle que l'on considère.

62. Nous avons observé, dans les n*** 21 et 22 du premier livre, que, dans le mouvement d'un système de corps, il existe un plan invariable, ou conservant toujours une situation parallèle, qu'il est facile de retrouver dans tous les temps , par cette condition, que la somme des masses du système, multipliées respectivement par les projections des aires décrites par leurs rayons vecteurs, dans un temps donné, est un maximum. C'est principalement dans la théorie du système solaire que la recherche de ce plan est importante, vu les mouvements propres des étoiles et de Técliptique, qui rendent très-difficiles aux astronomes la détermination précise des mouvements célestes. Si l'on nomme y l'inclinaison de ce plan invariable sur celui des x et des y, et II la longitude de son nœud ascendant, il résulte de ce que nous avons démontré dans les n"*' 21 et 22 du premier livre, que l'on aura

tang.y.sin.n= —, tang. 7. cos. Il = — ;

et, par conséquent,

m.\/a.(i— c*) . sin. <p . sin. 6 + m'. \/a'.(i — c'*) . sin.^'. sin. ô'+etc. tang. y. sin. n = ^z= , : ,

m.ya.(i— e*).cos.^+m'. Ya'.(i— c'').cos.^'+etc.

m.\/a.(i— c*).sîn.^.cos.fl4-m'. \/a'. (i — c'*).sin.^'.cos.d'+etc.

tang. y. COS. n =

. \/a . ( 1 — c*) . COS. (p + m'. \/ a'. ( i — e'*) . cos. ^'+ etc.

On déterminera facilement , au moyen de ces valeurs , les deux angles y et n. On voit que, pour déterminer le plan invariable, il faudrait connaître les masses des comètes, et les éléments de leurs orbites ; heureusement ces masses paraissent être fort petites, en sorte que Ton peut, sans erreur sensible, négliger leur action sur les planètes ; mais le temps seul peut nous éclairer sur ce point. On peut observer ici que , relativement à ce plan invariable , les valeurs de p, (j, p, ^', etc. ne renferment point de termes constants; car il est visible, par les équations (C) du n** 59, que ces termes sont les mêmes pour p, p, p\ etc. et qu ils sont encore les mêmes pour ç, q'y q, etc. et comme, relativement au plan invariable, les constantes des premiers membres des équations (i) et (2) du n** 59 sont nulles, les termes constants disparaissent, en vertu de ces équations, des expressions de p, p, etc. ^, ^', etc. Considérons le mouvement de deux orbites, en les supposant inclinées Tune à l'autre, d'un angle quelconque; on aura, par le n^ 61,

c =sin. (p. COS. d.m.\Ja. (1 — e*) H- sin. (p'. cos. 0'. m. \Jà.[i — e''), c''=sin. 9. sin. B. m . \/a.{i — e')-f-sin. <p\ sin. 0'. ni. \/a.{i — e*).

Supposons que le plan fixe auquel on rapporte le mouvement des orbites soit le plan invariable dont nous venons de parler, et par rapport auquel les constantes des premiers membres de ces équations sont nulles, comme on l'a vu dans les n*** 21 et 22 du pre-

mîer livre. Les angles (p et <p' étant positifs, les équations précédentes donnent les suivantes :

m . \/a.{i — e*y . sin. (p=ni. \Jd. (i — ë^) . sin. (p\ sin.0= — sin.0', cos.0= — cos.0',

d'où Ton tire = 0+la demi-circonférence; les nœuds des orbites sont par conséquent sur la même ligne; mais le nœud ascendant de Tune coïncide avec le nœud descendant de l'autre , en sorte que rinclinaison mutuelle des deux orbites est égale à 9 + 9 • On a, par le n^ 61,

c=zm.\Ja[i — e*) . cos. (p -f- rrî. \Jd. (i — ^ . cos. <p';

en combinant cette équation avec la précédente, entre sin. <p et sin. (p', on aura

2mc.cos.<p. \Ja. (i — e*)=:c'-4-m*.a. (i — e*) — m\d. (i — e").

Si Ton suppose les orbites circulaires, ou, du moins, assez peu excentriques pour que l'on puisse négliger les carrés de leurs excentricités, l'équation précédente donnera (p constant: par la même raison, <p' sera constant ; les inclinaisons des plans des orbites sur le plan fixe, et sur elles-mêmes, seront donc alors constantes, et ces trois plans auront toujours une intersection commune. Il en résulte que la variation moyenne instantanée de cette intersection est toujours la même, puisqu'elle ne peut être qu'une fonction de ces inclinaisons. Lorsqu'elles sont fort petites , on trouvera facilement, par le n® 60, et en vertu de la relation précédente entre sin. ^ et sin. (p', que, pour le temps f, le mouvement de cette intersection est — ! (o» "H (i . o) } . t

La position du plan invariable auquel nous venons de rappocter le mouvement des orbites est facile à déterminer pour un

instant quelconque , car il ne s'agit que de partager Tangle de Tinclinaison mutuelle des orbites en deux angles <p et ^', tels que Ton ait l'équation précédente entre sin. (p et sin. ^'. En désignant donc par tsr cette mutuelle inclinaison , on aura

tang.9= ^ ^

.^a.[ 1-— e')+ m'.\Ja', (i— e'*).co8.tBr