SECONDE MÉTHODE D'APPROXIMATION DES MOUVEMENTS CELESTES

63. On a vu dans le chapitre ii que les coordonnées des corps célestes, rapportées aux foyers des forces principales qui les animent, sont déterminées par des équations différentielles du second ordre. Nous avons intégré ces équations dans le chapitre m, en n'ayant égard qu aux forces principales, et nous avons fait voir que, dans ce cas, les orbites sont des sections coniques dont les éléments sont les constantes arbitraires introduites par les inté-^ grations. Les forces perturbatrices n'ajoutant que de petites inégalités au mouvement elliptique, il est naturel de chercher à ramener aux lois de ce mouvement le mouvement troublé des corps célestes. Si Ton applique aux équations différentielles du mouvement elliptique, augmentées des petits termes dus aux forces perturbatrices, la méthode d'approximation exposée dans le n** 45, on pourra encore considérer les mouvements célestes, dans les orbites rentrantes, comme étant elliptiques; mais les éléments de ce mouvement seront variables, et l'on aura leurs variations par cette méthode. Il en résulte que les équations du mouvement étant différentielles du second ordre , non-seulement leurs intégrales finies, mais encore leurs intégrales infiniment petites du premier ordre sont les mêmes que dans le cas des ellipses invariables; en sorte que l'on peut différentier les équations finies du mouvement elliptique en traitant les éléments de ce mouvement comme constants. Il résulte encore de la même méthode que les équations de ce mouvement, différentielles du premier ordre, peuvent être différentiées en n'y faisant varier que les éléments des orbites et

les premières différences des coordonnées, pourvu qu au lieu des différences secondes de ces coordonnées on ne substitue que la partie de leurs valeurs due aux forces perturbatrices. Ces résultats peuvent être immédiatement tirés de la considération du mouvement elliptique.

Pour cela concevons une ellipse passant par une planète et par l'élément de la courbe qu'elle décrit et dont le centre du soleil occupe le foyer. Cette ellipse est celle que la planète décrirait invariablement si les forces perturbatrices cessaient d'agir sur elle. Ses éléments sont constants pendant l'instant dt, mais ils varient d'un instant à l'autre. Soit donc V=o une équation finie à l'ellipse invariable, V étant fonction des coordonnées rectan^es x, j, z, et des paramètres c, c, etc. qui sont fonctions des éléments du mouvement elliptique. Cette équation aura encore lieu pour l'ellipse variable; mais les paramètres c, c, etc. ne seront plus constants. Cependant, puisque cette ellipse appartient à l'élément de la courbe décrite par la planète durant l'instant dt, l'équation V=o aura encore lieu, pour le premier et le dernier point de cet élément, en regardant c, c, etc. comme constants. On peut donc différentier cette équation une première fois, en n'y faisant varier que X, y, z, ce qui donne

on voit ainsi la raison pour laquelle les équations finies de l'ellipse invariable peuvent, dans le cas de l'ellipse variable, être différentiées une première fois, en traitant les paramètres comme constants. Par la même raison, toute équation différentielle du premier ordre, à l'ellipse invariable, a également lieu pour l'ellipse variable; car, soit F=o une équation de cet ordre, F étant

tiT ii-W (l7

fonction de a:, j, ^> T7 » ^ ^ tt ^t des paramètres c, c, etc. il est

clair que toutes ces quantités sont les mêmes pour l'ellipse variable que pour Tellipse invariable qui coïncide avec elle pendant J'instant dt

Présentement, si nous considérons la planète à la fin de l'instant dt ou au commencement de l'instant suivant, la fonction V ne variera de l'ellipse relative à l'instant dt, à l'ellipse consécutive, que par la variation des paramètres, puisque les coordonnées x,y, z, relatives à la fin du premier instant, sont les mêmes pour ces deux ellipses; ainsi, la fonction Fêtant nulle, on a

Cette équation peut se déduire encore de l'équation F=o, eu y faisant varier à la fois x, y, z, c, c, etc. car si l'on retranche l'équation (i) de cette diflFérentielle, on aura l'équation [i).

En diflFérentiant l'équation (i) on aura une nouvelle équation en de, de, etc. qui,'avec l'équation (T), servira à déterminer les paramètres e, c , etc. C'est ainsi que les géomètres qui se sont occupés les premiers de la théorie des perturbations célestes ont déterminé les variations des nœuds et les inclinaisons des orbites; mais on peut simplifier cette diflFérentiation de la manière suivante.

Considérons généralement l'équation diflFérentielle du premier ordre F=o, équation qui, comme on vient de le voir, convient également à l'ellipse variable et à l'ellipse invariable qui, dans l'instant dt, coïncide avec elle. Dans l'instant suivant, cette équation convient encore aux deux ellipses, mais avec cette diflFérence, que e^c, etc. restent les mêmes dans le cas de l'ellipse invariable, au lieu qu'ils changent avec l'ellipse variable. Soit V" ce que devient F lorsque l'ellipse est supposée invariable; soit F' ce que devient cette même fonction dans le cas de l'ellipse variable. Il est clair que, pour avoir V", il faut changer dans F les coordonnées X, y, z, qui sont relatives au commencement du premier