PREMIERE PARTIE, LIVRE DEUXIEME

difiFérence, o^=c.dx — c.dy-hc.dz, prise en regardant c, c, c comme constants.

Si Ton différentie la quatrième, la cinquième et la sixième des intégrales (/)), en n'y faisant varier que les paramètres /, y*', /", et les différences dx, dy, dz; si l'on substitue ensuite, au lieu de

ddxy ddy, ddzy les quantités— rff*. ("X")»-^^''- (■;/"")' ""^^*- (■;/"■)' on aura

^(^ydx — xdy).(-^j^

df=dx.\x.{^^^-y.{^^^^

^(^a,dy—ydx).(-^j^

df=dx.\x.{^^-z.^^y^

-f- [xdz — zdx) . ^-^j ^ [ydz—zdy] . (^y

Enfin, la septième des intégrales (/>), différentiée de la même manière, donnera la variation du demi-grand axe a, au moyen de l'équation

c/.^=2.diî, a

la différentielle d/{ se rapportant aux seules coordonnées Xy y, z du corps m.

Les valeurs de j\ /', f, déterminent la longitude de la projection du périhélie de l'orbite sur le plan fixe, et le rapport de l'excentricité au demi-grand axe; car / étant la longitude de cette

projection, on a, par le n*" 19,

f tang./=^;

et e étant le rapport de l'excentricité au demi-grand axe, on a, par le même numéro,

Ce rapport peut encore être déterminé en divisant le demi-paramètre a. (i — e*), par le demi-grand axe a : le quotient retranché de l'unité donnera la valeur de e\

Les intégrales [p) ont donné, par l'élimination, dans le n** 19, l'intégrale finie, o=|xr — h^-^-f^-^fy-^f^* cette équation subsiste encore dans le cas de l'ellipse troublée, et elle détermine, à chaque instant, la nature de l'ellipse variable. On peut la diflFérentier en regardant/, /',y comme constants, ce qui donne

o = jx rf r -h-fdœ -h-fdy -hfdz.

Le demi-grand axe a donne le moyen mouvement de m, ou, plus exactement, ce qui dans l'orbite troublée, répond au moyen mouvement dans l'orbite non troublée; car on a, par le n° 20,

n=a *.\/fÂ; de plus, si l'on désigne par ^ le moyen mouvement de m, on a dans l'orbite elliptique invariable d^=ndt : cette équation a également lieu dans l'ellipse variable, puisqu'elle est différentielle du premier ordre. En la différentiant, on aura ddi=dn.dt; or on a

partant

an= .a.— =

jip 3an.dt.dR

et, en intégrant,

1=- . f f andt .àR.

Enfin, on a vu, dans le n® 18, que les intégrales [p] n'équivalent