PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

qu'à cinq intégrales distinctes, et qu elles donnent entre les sept paramètres c, c, o\fyfyfy et e, les deux équations de condition,

ces équations ont donc encore lieu dans le cas de Tellipse variable, pourvu que les paramètres soient déterminés par ce qui précède : on peut d'ailleurs s'en assurer facilement à posteriori.

Nous venons de déterminer cinq éléments de l'orbite troublée, savoir, son inclinaison, la position de ses nœuds, son demi-grand axe qui donne son moyen mouvement, son excentricité, et la position du périhélie. Il nous reste à déterminer le sixième élément du mouvement elliptique, celui qui, dans l'ellipse non troublée, répond à la position de m à une époque donnée. Pour cela, reprenons l'expression de dff du n° 16,

7 {i+c.cos(i;— «r)}**

Cette équation, développée en série, nous a donné, dans le numéro cité,

ndt=dv.\i'^E^'Kcos.{v — ^) -h E^*l cos. i [v — «) -+- etc. j •

En intégrant cette équation dans la supposition de e et de tar constants, on aura

fndt-i'e=V'^E^'Ks\n.[v — tar)H .sin. a {v — tarj-f-etc.

e étant une arbitraire. Cette intégrale est relative à l'ellipse invariable : pour l'étendre à l'ellipse troublée, il faut qu'en y faisant tout varier jusqu'aux arbitraires e, e et ^ quelle renferme, sa différentielle coïncide avec la précédente ; ce qui donne

de = de. l f-^ — j.sm. [v — '^)'-^-t-("3 — J.sm. 2(1; — tarj-f-etc. — dftar. |jB^*^cos. (v — t^r) -+-jB^*^cos. 2 (t; — '©j-hetc-l

V — t«T est l'anomalie vraie de m, comptée sur l'orbite, et tar est la longitude du périhélie , comptée pareillement sur l'orbite. Nous avons déterminé précédemment la longitude /de la projection du périhélie sur le plan fixe ; or on a , par le n^ 22 , en changeant v en t«T, et v en J dans l'expression de v — ê, de ce numéro,

t!T — € = / — 0-f-tang*.-^9.sin. 2 (/ — 0)-4-etc.

En supposant ensuite v et v nuls dans cette même expression, on a

îz=zd-{- tangV 1 9 . sin. 2 -f- etc.

partant

« = / -l-tang*.Y(p. j sin.20-+-sin. 2 (/ — 6) j -Hetc.

ce qui donne

d^^=dl. {1-1-2 tang\y ^.cos. 2 (/ — B) -f-etc. }

-[-2^9. tang'.yip. j cos. iB — cos. 2 (/ — B) j -\- etc.

^j^cl(Z ^"?Vf >isin. 20-hsin.2 (/ — B] } -j- etc.

Ainsi les valeurs dl, dB et d<p étant déterminées par ce qui précède, on aura celle de rft^r, d'où l'on tirera la valeur de e/e.

Il suit de là que les expressions en séries du rayon vecteur, de sa projection sur le plan fixe, de la longitude rapportée soit sur le plan fixp, soit sur l'orbite, et de la latitude, que nous avons données dans le n° 22, pour le cas de l'ellipse invariable, ont également lieu dans le cas de l'ellipse troublée, pourvu que l'on y change nt en fndt^ et que l'on détermine les éléments de l'ellipse variable par les formules précédentes. Car, puisque les équations finies entre r, v, 5, a:, j, z, et fndty sont les mêmes dans les deux cas, et que les expressions en séries, du n*" 22, résultent de ces équations, par des opérations analytiques entièrement indépendantes de la constance ou de la variabilité des éléments, il est