PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIEME

Si f on néglige les carrés et les produits des masses perturbatrices, on pourra, dans l'intégration de ces termes, supposer les éléments du mouvement elliptique constants, ce qui change ^ en nf, et ?' ert ntj d'où Ton tire

- = 7-77-7 — : — v.cos. (iTif — int-hA),

a (i ,[i n — in ) ^ ^

n Ô l TU Cl II m K • / *f f • A \

C = T-rr-T r— r;.Sm. l 71 f ITlt-hA).

fjL.[i n —iny ^ '

On voit par là que si ïn — in n'est pas nul , les quantités a et ^ ne renferment que des inégalités périodiques, en n'ayant égard qu'à la première puissance de la force perturbatrice; or, i et i étant des nombres entiers, l'équation iV—i 7i=o ne peut pas avoir lieu quand les moyens mouvements de m et de rn sont incommensurables , ce qui est le cas des planètes , et ce que l'on peut admettre généralement, puisque n et n étant des constantes arbitraires susceptibles de toutes les valeurs possibles, leur rapport exact de nombre à nombre est infiniment peu vraisemblable.

Nous sommes donc conduits à ce résultat remarquable, savoir, que les grands axes des orbites des planètes et leurs moyens mouvements ne sont assujettis qu'à des inégalités périodiques dépendantes de leur configuration entre elles, et qu'ainsi, en négligeant ces quantités, leurs grands axes sont constants, et leurs moyens mouvements sont uniformes : résultat conforme à celui que nous avons trouvé par une autre méthode dans le n*^ 54.

Si les moyens mouvements nt et nt^ sans être exactement commensurables, approchent beaucoup d'être dans le rapport de i à i, le diviseur ïn — in est fort petit, et il peut en résulter, dans l et i\ des inégalités qui, croissant avec une grande lenteur, pourront donner lieu aux observateurs de penser que les moyens mouvements des deux corps m et m ne sont pas uniformes. Nous verrons, dans la théorie de Jupiter et de Saturne, que cela est

arrivé relativement à ces deux planètes : leurs moyens mouvements sont tels, que deux fois celui de Jupiter est, à fort peu près, égal à cinq fois celui de Saturne ; en sorte que bn — 211 n'est pas la soixante et quatorzième partie de /i. La petitesse de ce diviseur rend très-sensible le terme de l'expression de ^ , dépendant de l'angle Snt — int, quoiqu'il soit de l'ordre i — i, ou du troisième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons des orbites, comme on l'a vu dans le n° 48. L'analyse précédente donne la partie la plus sensible de ces inégalités; car la variation de la longitude moyenne dépend de deux intégrations, tandis que les variations des autres éléments du mouvement elliptique ne dépendent que d'une seule intégration ; il n'y a conséquemment que les termes de l'expression de la longitude moyenne qui puissent avoir le carré [in — in )* pour diviseur : en n'ayant donc égard qu'à ces termes qui, vu la petitesse de ce diviseur, doivent être les plus considérables, il suffira, dans les expressions du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude, d'accroître de ces termes la longitude moyenne.

Quand on a les inégalités de ce genre, que l'action de m produit dans le moyen mouvement de m, il est facile d'en conclure les inégalités correspondantes que l'action de m produit dans le moyen mouvement de m'. En effet, si l'on n'a égard qu'à l'action mutuelle des trois corps M, m et m', la formule (7) du n** 9 donne

const.=m. ^^ j^^ i -+-m. ^ /, ^

dt* dV

[mdx+m' dxy+^mdy+m' dyY+[mdz+m' dzj

{M-hm+m).dr 2 Mm 2 Mm' 2 mm

Vx»+j'+2' \/^'»+j''+z'' V(^'-^)'+ (7 - J')'+ (2'— - )*

La dernière des intégrales [p) du numéro précédent donne, en