PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

ments aucune altération indépendante de la configuration des planètes, je ne balançai point à croire qu'il existe dans la théorie de Jupiter et de Saturne une grande inégalité périodique d'une fort longue période. En considérant ensuite que cinq fois le moyen mouvement de Saturne, moins deux fois celui de Jupiter, est, à très-peu près, égal à zéro, il me parut vraisemblable que le phénomène observé par Halley avait pour cause une inégalité dépendante de cet argument : la détermination de cette inégalité vérifia cette conjecture.

La période de l'argument int — int étant supposée fort longue, les éléments des orbites de m et de m éprouvent, dans cet intervalle, des variations sensibles auxquelles il est essentiel d'avoir égard dans la double intégrale ffa kn^df. sin. [int — int-hA). Pour cela, nous donnerons à la fonction /e.sin. [int — int -h- A) , laforme Q.sin.[int — int-hi'e — ie)-+-Q'.cos. [int — int-^-ie — le) , Q et Q étant fonctions des éléments des orbites, nous aurons

ainsi

ffa k n^dV. sin. [int — i n t-^A ) =

n*a.sm.[i'n't-int+ie'^ie) (^ 2.dQ' S.ddQ à.d'Q'

[i'n'^iny • i ^ ~ (î'/i'-în) .dt (li'n'^iny.dP "^ [i'n'-^iny.dt' ^ ^'^'

n'a.cos.[in't-'int+ie'^ie) i^, 2.dQ 3.ddQ' l^.d'Q

[fn'-iny '\^'^{i'n'^in).dt {i'n'-iny.dl' (i'n'-iny.dt''^ ^*^'

Les termes de ces deux séries décroissant très-rapidement, vu la lenteur des variations séculaires des éléments elliptiques, on peut, dans chaque série, s'en tenir aux deux premiers termes. En y substituant ensuite, au lieu des éléments des orbites, leurs valeurs ordonnées par rapport aux puissances du temps, et ne conservant que sa première puissance, la double intégrale précédente pourra être transformée dans un seul terme de la forme

[F-^E.t). sin. [int — int-^-A-i-H.t).

Relativement à Jupiter et à Saturne, cette expression pourra ser-

vir pendant plusieurs siècles avant et après l'instant que Ton aura choisi pour époque.

Les grandes inégalités dont nous venons de parler en produisent de sensibles parmi les termes dépendants de la seconde puissance des masses perturbatrices. En elFet, si dans la formule

^= .ffakn\dt\sin.[ïi' — i^-+-il),

on substitue pour i et l' leurs valeurs

^t 7V-7 — r-r-.sm. (int — int-\-A]y

fjL.[in—inY ^ ^

, ^i .man*,k \/a . ,-/ / . . ^x nt-î 7-77-7 — 7-T->— — .sm. (int — int-t-Ai^

il en résultera parmi les termes de l'ordre m* le suivant :

qi*. m'*.a*.n*.i* \i.m\\/ a'+i\m\/a\ . ,., / • a\

— Q ./•/ / — ^— û--^ — ' -sm. 2 [int — int-{-A]

La valeur de ^' renferme le terme correspondant qui est au précédent dans le rapport de m . y^ à — m. y/dj

Q , /./ / — 7-rr-.\i.m \/a-hi.m\/a\. / / . sm. a . (int — int-^A). SfjL^.[i n—iny ^ ▼ ▼ » m*.a ^ *

66. Il peut arriver que les inégalités du moyen mouvement les plus sensibles ne se rencontrent que parmi les termes de l'ordre des carrés des masses perturbatrices. Si l'on considère trois corps m, m', m\ circulant autour de Af, l'expression de d/î relative aux termes de cet ordre renfermera des inégalités de la forme Jt.sin. [int — int-\-int^A)\ or, si l'on suppose les moyens mouvements nty ntj lit tels que in — în-^-in soit une fraction extrêmement petite de /i, il en résultera une inégalité très-sensible