PREMIERE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

on aura donc

2 ' [ a' \ da' )\

X sin. (/if — 3 /i'«-4- 2 /l'f-j- e — 3 e'H- 2 e") =— |.^

En substituant cette valeur de — ^ , dans les valeurs -rr— » ^-r^ , et

ddV dt ' dt '

—, — , et faisant, pour abréger,

€=Y.JCr A2.[a,ay^ — a.l ^ , , — JM— .m.m -4-^.m.m -t- j-y/zi.m ,

on aura , à cause de /i à très-peu près égal à 2 n , et de n à trèspeu près égal à 2 n,

-T-^ — ^'^jjr '^^'~dir =^*n\sin.[nt—6.nt+2.ii (+e--3s + 2 e ); ou, plus exactement, ^-3.-^+2.-^=g.n\sin.(^-3.r+2.r+e-3e'4-2e");

en sorte que, si l'on suppose

on aura

ddV /3 , • T/ -j— =:6.jn'. sin. V.

Les moyennes distances a, a, a variant très-peu, ainsi que la quantité n, on peut, dans cette équation, considérer ê/i* comme une quantité constante. En Tintégrant, on a

\/c— 26/1*. COS. K

c étant une constante arbitraire. Les différentes valeurs dont cette constante est susceptible donnent lieu aux trois cas suivants.

Si c est positif et plus grand que àz2^n\ l'angle K croîtra sans cesse, et cela doit arriver si, à l'origine du mouvement, [n—3n+2ny est plus grand que do2^n\ (i =}= cos. F), les signes supérieurs ou inférieurs ayant lieu suivant que ê est positif ou négatif. Il est facile de s'assurer, et nous le ferons voir particulièrement dans la théorie des satellites de Jupiter, que ê est une quantité positive relativement aux trois premiers satellites de Jupiter; en supposant donc zp^zzziTr — F, tt étant la demi-circonférence, on aura

dt= '^^

Y/c + 2ê/i'.cos.tir

Dans l'intervalle depuis © = 0, jusqu'à tïT=-, le radical

yc-h2 ê/i^.cos.tïT est plus grand que y 2 êw*, lorsque c est égal ou plus grand que 2 ê/i*; on a donc dans cet intervalle, ©>/if .yTl; ainsi le temps t que l'angle tîT emploie à parvenir de zéro à Tangle

droit est moindre que zm. La valeur de € dépend des masses

m, m, m : les inégalités observées dans les mouvements des trois premiers satellites de Jupiter, et dont nous avons parlé ci-dessus, donnent, entre leurs masses et celle de Jupiter, des rapports d'où

il résulte que = est au-dessous de deux années, comme on

le verra dans la théorie de ces satellites; ainsi l'angle ^ emploierait moins de deux ans à parvenir de zéro à l'angle droit; or les observations des satelhtes de Jupiter donnent, depuis leur découverte, ^ constamment nul ou insensible; le cas que nous examinons n'est donc point celui des trois premiers satellites de Jupiter. Si la constante c est moindre que ± 2 ê fi*, l'angle V ne fera qu'osciller; il n'atteindra jamais deux angles droits si ê est négatif, parce qu'alors le radical \Jc — 2 ê/i*. cos. V deviendrait imagi-