PREMIERE PARTIE, LIVRE DEUXIEME

or Q étant de Tordre des masses perturbatrices, et les variations des éléments des orbites étant du même ordre, 5Q est de Tordre des carrés de ces masses; ainsi, en négligeant les quantités de cet ordre, on aura

On peut donc prendre les intégrales/(y) .dt,f{X).dt,f{Y').dt, etc. en supposant les éléments des orbites constants, et regarder ensuite ces éléments comme variables dans les intégrales; on aura ainsi, d'une manière fort simple, les parties périodiques des expressions de h, l, h!, etc.

Pour avoir les parties de ces expressions qui renferment les inégalités séculaires, on observera qu'elles sont données par Tintégration des équations dîfiFérentielles précédentes privées de leurs derniers termes (7), [X), etc. car il est clair que la substitution des parties périodiques de h, /, h', etc. en fera disparaître ces termes. Mais en privant ces équations de leurs derniers termes, elles retombent dans les équations différentielles (^4) du n** 55, que nous avons considérées précédemment avec beaucoup d'étendue.

69. Nous avons observé, dans le n** 65, que si les moyens mouvements nf et nt des deux corps m et m sont, à fort peu près, dans le rapport de i à i, en sorte que in — in soit une très-petite quantité, il peut en résulter dans les moyens mouvements de ces corps des inégalités fort sensibles. Ce rapport des moyens mouvements peut aussi produire des variations sensibles dans les excentricités des orbites et dans la position de leurs périhélies. Pour les déterminer, nous reprendrons Téquation trouvée dans le n^ 67 :

fi \dv ) fi

Il résulte de ce que nous avons dit dans le n° 48, que si Ton

prend pour plan fixe celui de l'orbite de m à une époque donnée, ce qui permet de négliger dans jR Vinclinaison (p de l'orbite m sur ce plan , tous les termes de Texpression de jR dépendants de Tangle i'nt — int seront compris dans la forme suivante,

m li. COS. [int — int-^i e — le — g^cs — gis — g );

i, i\ g y g y g étant des nombres entiers tels que Ton a o:=^i-'i—g—g—g\ Le coefficient k a pour facteur e^.e^\[idJi^.\(^'Y\ g, g, g" étant pris positivement dans ces exposants : de plus, si Ton suppose i et i positifs, et i plus grand que i, on a vu, dans le n^ 48, que les termes de R qui dépendent de l'angle int — int sont de l'ordre i — i, ou d'un ordre supérieur de deux, de quatre, etc. unités; en n'ayant donc égard qu'aux termes de l'ordre i' — i, k sera de la forme e^. e^'. (tang. y (p')^". Q, Q étant une fonction indépendante des excentricités et de l'inclinaison respective des orbites. Les nombres g, g, g\ renfermés sous le signe cos. sont alors positifs; car si l'un d'eux, g y par exemple, était négatif et égal à — fy k serait de rordre/H-^'-+-^"; mais l'équation o=i' — i — g — g — g\ donne f-+- g-h g'=i — i-^-iJ; ainsi k serait d'un ordre supérieur à i — iy ce qui est contre la supposition. Cela posé, on a, par le

n*' 48, {-T-A = (-^|, pourvu que dans cette difiFérence partielle,

on fasse e — tsr, constant; le terme de I-;/-), correspondant au

terme précédent de jR, est donc

m. [î-^g) .k.sm.{int — int-hi'e — ie — gts — g^as' — g'Q')-

Le terme correspondant de dU est

m .ink.dt. s\n. [int — int-{-ie — le — gis — gis — g u ];

en n'ayant donc égard qu'à ces termes, et en négligeant e* vis-àvis de l'unité, l'expression précédente de ede donnera

de^= .^^— .sm. [int — int-{-ie — le — gis — gis — g u j;