PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME
En négligeant les excentricités et les inclinaisons des orbites, on a
r=a, v=nt-+-e, r=a\ v=nt-^e\
ce qui donne
on a de plus , par le n** 48 ,
- = I . S. fi^'l COS. i {nt -nt+ e- e) ;
{ a»— 2 aa. ces. (n'f— nf+e— e)+a'*} •
le signe intégral 2 s'étendant à toutes les valeurs entières , positives et négatives de i, en y comprenant la valeur i=o; on aura ainsi, en négligeant les termes de Tordre des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons des orbites ,
= ^^ ^^K ^^ . \cos.{n t+nt+ e + e) - COS. {nt-nt+ e- e) \ 4- ^^ ~^' . -^ . { sin. (n f + nt + e'+ e) - sin . {nt — nf + e - e) j +i2^^.m'aa'.S.B"l{cos.[(i+i) (n'f-n<+e'-e)]-cos.[(i+i) (n'f-nf+e'— ej+anf+ac] j ^(£Z2.).TO'.aa'.S.5"lisin.[(i+i) (n'f-w(+e'-e)]-sin.[(i+i) (n'f-ni+e'-ej+anf+ae] j,
—^ — ri J__ |çQ3^ ^/l'^^/if+e'+ej + cos, (/i7 — wf+e'— e) j
- — ^.— 7r-{sm-(/i«+wf4-e + e)+sm. (/If— ttf+e — e) j
+^^ .m'.aa. S.fi^'l|cos.[(t+i) (/i'(-n/+e -e)]+cos. [(i+j) (/i'f-ii«H-e'-e)+2nf+2e]} "•" A^^ .m'.aa'.S.fi"\J8in.[(j-f-i) (/i'f-nf+e'-e)]+sin.[(j+i) {nt-nt+t'-e)+int+ie]\.
La valeur i = — i , donne dans Texpression de ^ , la quantité constante ^^~^' . m. ad. jB^ "*^; tous les autres termes de l'expression de -ïj sont périodiques : en désignant par P leur somme , et observant que jB^~*^ = jB^'^, par le n^ 48, on aura
dt hc
On trouvera, par le même procédé, que, si Ton désigne par Q la somme de tous les termes périodiques de l'expression de ^ , on
aura
^ = t=E),m'.aa'.B^^^-^Q.
dt 4c
Si l'on néglige les carrés des excentricités et des inclinaisons des orbites, on a, par le n"" 64, c=\/fjtâ; en supposant ensuite jx= i
on a 7iV=i, ce gui donne c = — ; la quantité — '—j-^ devient
^' ^«V n»^ an ^ 4c
amsi y , ce qui, par le n*" 59, est égal à (o.i); on aura
ainsi
^=(o..).(7'-7)-hP.
H suit de là que si l'on désigne par (P) et [Q) la somme de toutes les fonctions P et Q, relatives à l'action des différents corps m, rn, etc. sur m; si l'on désigne pareillement par (F), (Q'), (F'), ((/), etc. ce que deviennent (P) et (Q), lorsque l'on y change successivement les quantités relatives à m, dans celles qui sont relatives à m, m", etc. et réciproquement; on aura, pour déter-
miner les variables p, q, p, (j\ p\ (j\ etc. le système suivant d'équations différentielles ,
ÉPdt ~"
dq
dt~
d£__ dt ~
dt ~
etc.
j(o.i)-h(o,ï)-f-etc.j .^-+-(0, j(o,»)-f-(o,»)-f-etc.J .p — (o, { (i , o) -h (i . ») -f- etc. j . 9'-f- (1 , o j(i.o)-h(i,j)-t-etc.{ .p — (1,0
.9'-f-(o,j).9''-f-etc.-f- (P), .p — (o. a). p' H- etc. -h (Q), .q -h (>,»). 9' -f- etc. -f- {F) , .p — (...). p'— etc. -h (Q'),
L'analyse du n" 68 donne pour les parties périodiques de p, (j, p, q', etc.
p=f{P).dt, ci^f[Q).du
p = f[P).dt, (j'=f{Q).dt, etc.
On aura ensuite les parties séculaires des mêmes quantités, en intégrant les équations différentielles précédentes, privées de leurs derniers termes (P), (0), (P'), etc. et alors on retombera dans les équations (C) du n"* 59, que nous avons considérées avec assez d'étendue pour nous dispenser de revenir sur cet objet. 71. Reprenons les équations du n** 64,
d'où résidtent celles-ci,
tang.0=^,
— =tang.(p.cos.0, — =:tang.0.sin.0.
En les différentiant , on aura
d.t3Lng.(p= -. \ de. COS. 6 -\- de .s\n.6 — de. tang.(^ {,
rf6-tang.(p =1^- . { de". cos. 6 — de. sin. 6 j.
de
Si l'on substitue dans ces équations, au lieu de -jr , -yr-» -rj-, leurs
, /dR\ /dR\ /dR\ /dR\ /dR\ /dR\ ^
valeursy.(^^j-a;.^^yj, z.^^^j-or.^^j.z.^^j-j'.^j^j, et,
au lieu de ces dernières quantités, leurs valeurs données dans le n"* 67 ; si Ton observe de plus que 5=tang.(p. sin (t; — 6) ; on aura
jx ^ dt.taine;.(p. cos.lv— 6) ( /dR\ . , ^. /dR\ , ^.
rf.tang.(p= ^ ^ .^j^.(^^j.sln.(t;-0)+(^^j.cos.M)
(i±^'.eos.(„-9).(^).
.ung.^= ^'■'^'^■'^fC-O) ■[r.(^)..iB.M)+(g).eos.M)
-^— ^.sm.(t;-0).^^j.
Ces deux équations différentielles détermineront directement l'inclinaison de Torbite et le mouvement des nœuds. Elles donnent
sin.(î; — 0).rf,tang.(p — dB. cos.{v — 0).tang.(p=o;
équation qui peut se déduire encore de celle-ci,
s ==z tang. (p. sin. [v — 0) ;
en effet, cette dernière équation étant finie, on peut, par le n"" 63, la différentier, soit en regardant ^ et comme constants, soit en les traitant comme variables , en sorte que sa différentielle prise en ne faisant varier que (p et est nulle ; d'où résulte l'équation différentielle précédente.
Supposons maintenant que le plan fixe soit extrêmement peu incliné à l'orbite de m, en sorte que nous puissions négliger les carrés de s et de tang. ^; on aura
d . tang.9 = — ^. COS. {v—e).(^j , rf6.tang.9=— -I.sin.(t;— 0).^^j;
partant
