PREMIÈRE PARTIE, LIVRE PREMIER

Si le point M n est pas libre, en sorte qu'il soit assujetti à se mouvoir sur une surface ou sur une ligne courbe, on éliminera de Téquation {fj , au moyen des équations à la surface ou à la courbe, autant de variations e^o?, ây, Sz, qu'il y aura d'équations, et l'on égalera séparément à zéro les coefficients des variations restantes.

8, On peut supposer dans l'équation (/) les variations èx^ êy, èz égales aux difiPérentielles ixj dy, dz, puisque ces différentielles sont nécessairement assujetties aux conditions du mouvement du mobile M. En faisant cette supposition, et en intégrant ensuite l'équation (/), on aura

c étant une constante arbitraire. f- est le carré de la

vitesse de M, vitesse que nous désignerons par v; en supposant donc que Pdœ+Qdy+Rdz soit la différence exacte d'une fonction (p, on aura

Ce cas a lieu lorsque les forces qui sollicitent le point M sont fonctions des distances de leurs origines à ce point, ce qui comprend à peu près toutes les forces de la nature. En effet, 5, S\ etc. représentant ces forces, et s, s\ etc. étant les distances du point M à leurs origines, la résultante de toutes ces forces, multipliée par la variation de sa direction, sera, par le n° 2, égale à ^.S.âs; elle est encore égale à P.Sx-\-Q.Sy'\-R.Sz; on a donc

P.Sx-{'Q.Sy-^R.Sz='S..S.Ss;

ainsi le second membre de cette équation étant une différence exacte, le premier membre l'est pareillement.

Il résulte de l'équation [g), i"* que si le point M n'est sollicité

par aucunes forces, sa vitesse est constante, puisque alors ^ =o. C'est ce dont il est facile de s assurer d'ailleurs, en observant qu'un corps mû dans une surface ou sur une ligne courbe ne perd à la rencontre de chaque plan infiniment petit de la surface, ou de chaque côté infiniment petit de la courbe, qu'une partie infiniment petite du second ordre de sa vitesse; 2° que le point M, en partant d'un point donné avec une vitesse donnée, pour arriver à un autre point, aura, en parvenant à ce dernier point, la même vitesse, quelle que soit la courbe qu'il aura décrite.

Mais si le mobile n'est point assujetti à se mouvoir sur une courbe déterminée, la courbe qu'il décrit jouit d'une propriété singulière, à laquelle on a été conduit par des considérations métaphysiques, et qui n'est au fond qu'un résultat remarquable des équations différentielles précédentes. Elle consiste en ce que l'intégrale fvds, comprise entre les deux points extrêmes de la courbe décrite, y est moindre que sur toute autre courbe, si le corps est libre, ou sur toute autre courbe assujettie à la même surface sur laquelle il doit se mouvoir, s'il n'est pas entièrement libre.

Pour le faire voir, nous observerons que Pdx-\-Qdy-{'Rdz étant supposé une différentielle exacte, l'équation [(j) donne

vSv=iP.Sx^Q.Sy^R.êz; l'équation (/) du numéro précédent devient ainsi

o = âx.d.'-. h-^y.e/.TT- -^Sz.d.-^ — vdt.âv.

dt ^ dt dt

Nommons ds l'élément de la courbe décrite par le mobile; nous

aurons

vdt=ds, ds=^ dx^-i-dy^-^dz'; partant

o=âx.d.-rr -^êy.d.-^ -hâz.d.-i^ — ds.âv; (h)