PREMIÈRE PARTIE, LIVRE PREMIER

en différentiant par rapport à 8, Texpression de ds, on à

at at at ^ dt

Les caractéristiques cZ et 5 étant indépendantes, on peut les placer à volonté Tune avant l'autre ; l'équation précédente peut ainsi prendre cette forme :

m, j dAdx.èx-^dy.^Y-^dz.èzl t^ j dx f< j dy tk j dz

v.Sds= — ^ f^ ' — Sx.d.j^ — Sy.d.-^ — Sz.d.-^;

en retranchant du premier membre de cette équation le second membre de l'équation [h], on aura

t / I \ d.ldx.Sx-^-dy.Sy-^dz.S z)

h.{vds)= ^ fj^ i.

Cette dernière équation intégrée par rapport à la caractéristique d donne

^ P j ^ ^ dx.Sx'-\-dy.Sy-^dz.S z à .fv ds= constante H ^^-rr^ .

Si Ton étend l'intégrale à la courbe entière décrite par le mobile , et si l'on suppose les points extrêmes de cette courbe invariables, on aura 8.fvds = o; c'est-à-dire que de toutes les courbes suivant lesquelles le mobile assujetti aux forces P, Q, R peut parvenir d'un point donné à un autre point donné, il décrira celle dans laquelle la variation de l'intégrale /vrf 5 est nulle, et dans laquelle, par conséquent, cette intégrale est un minimum.

Si le point se meut dans une surface courbe, sans être sollicité par aucune force, sa vitesse est alors constante, et l'intégrale fvds devient vfds; ainsi la courbe décrite par le mobile est, dans ce cas, la plus courte que l'on puisse tracer sur la surface, du point de départ au point d'arrivée.

9. Déterminons la pression qu'un point mû dans une surface exerce contre elle. Au lieu d'éliminer de l'équation [f) du n® 7 une des variations hx, 5j, hz, au moyen de l'équation à la sur-