PREMIÈRE PARTIE, LIVRE PREMIER

Si le point se meut dans une surface sphérique, il décrira la circonférence du grand cercle de la sphère, qui passe par la direction primitive de son mouvement, puisqu'il ny a pas de raison pour qu'il s'écarte plutôt à droite qu'à gauche du plan de ce cercle : sa pression contre la surface, ou, ce qui revient au même, contre la circonférence qu'il décrit, est donc égale au carré de sa vitesse, divisé par le rayon de cette circonférence.

Concevons le point attaché à l'extrémité d'un fil supposé sans masse , et dont l'autre extrémité soit fixe au centre de la surface : il est visible que la pression exercée par ce point contre la circonférence est égale à la tension qu'éprouverait le fil, si le point n'était retenu que par lui. L'effort que ce point ferait pour tendre le fil et pour s'éloigner du centre de la circonférence est ce que l'on nomme ybrc^ centrifuge. Ainsi la force centrifuge est égale au carré de la vitesse divisé par le rayon.

Dans le mouvement d'un point, sur une courbe quelconque, la force centrifuge est égale au carré de la vitesse divisé par le rayon osculateur de la courbe, puisque l'arc infiniment petit de cette courbe se confond avec la circonférence du cercle osculateur; on aura donc la pression que le point exerce contre la courbe qu'il décrit, en ajoutant au carré de sa vitesse , divisé par le rayon osculateur, la pression due aux forces qui sollicitent ce point.

Dans le mouvement d'un point sur une surface, la pression due à la force centrifuge est égale au carré de la vitesse divisé par le rayon osculateur de la courbe décrite par ce point, et multiplié par le sinus de l'inclinaison du plan du cercle osculateur, sur le plan tangent à la surface : en ajoutant à cette pression celle qui est due à l'action des forces qui sollicitent le point, on aura la pression totale qu'il exerce contre la surface.

Nous venons de voir que si le point n'est animé d'aucunes forces , sa pression contre la surface est égale au carré de sa vitesse

divisé par le rayon oscuiateur de la courbe décrite; le plan du cercle oscuiateur, c'est-à-dire le plan qui passe par deux côtés consécutifs de la courbe décrite par le point, est donc alors perpendiculaire à la surface. Cette courbe, relativement à la surface de la terre, est celle que Ton a nommée perjyendiculaire à la méridienne, et nous avons prouvé (n° 8) qu'elle est la plus courte que Ton puisse mener d'un point à un autre sur la surface.

10. De toutes les forces que nous obscnons sur la terre, la plus remarquable est la pesanteur : elle pénètre les parties les plus intimes des corps, et sans la résistance de l'air, elle les ferait tomber avec une égale vitesse. La pesanteur est à fort peu près la même sur les plus grandes hauteurs où nous puissions nous élever, et dans les plus grandes j)rofondcurs où nous puissions descendre : sa direction est perpendiculaire à l'horizon ; mais dans les mouvements des projectiles, on peut supposer sans erreur sensible qu'elle est constante , et qu'elle agit suivant des droites parallèles , vu le peu d'étendue des courbes qu'ils décrivent relativement à la circonférence de la terre. Ces corps étant mus dans un fluide résistant, nous nommerons ê la résistance qu'ils en éprouvent, et qui est dirigée suivant le côté de la courbe qu'ils décrivent, côté que nous désignerons par ds; nous nommerons, de plus, g la pesanteur. Cela posé :

Reprenons l'équation (/) du n° 7 , et supposons que le plan des X et des j soit horizontal, et que l'origine des c.soit au point le plus élevé; la force ê produira, suivant les coordonnées

X, y, z, les trois forces — ^i"» — ^7^' — ^7"^ ^^ ^^^^ donc par le n° 7,

as ^ ds ils -^

et l'équation [f) devient

Si le corps est entièrement libre, on aura les trois équations

o=d.'^-h€.'T'.dt, o=d.'^-h€.-^ ,dt, o=d.:^ + €.-^.dt — qdt.

dt d$ ' dt as ' dt ds J

Les deux premiers donnent

dy j dx dx 1 dy

dt'^'dt~dt '^'dr~^'

d'où Ton tire en intégrant, dx=fdy, f éieini une constante arbitraire. Cette équation est celle d'une droite horizontale; ainsi le corps se meut dans un plan vertical. En prenant ce plan pour celui des x et des z, on aura j = o ; les deux équations

o=:rf.-r ^-g.-,(if, o=d.-r- -h^.-r- 'dt — qdt,

at as dt as *'

donneront, en faisant àx constant,

o ds.ddt ddz dz.ddt z> dz ,^ j^

dt' ' dt dt^ ds ^

DoùTon tire g dt*=ddz; et, en difiFérentiant, 2 gdt.ddt=d'z;

en substituant pour ddt sà valeur -j-, et pour dt* sa valeur

ddz

, on aura

^ S ds.d'z

g i\ddzY '

Cette équation donne la loi de la résistance ê, nécessaire pour faire décrire au projectile une courbe déterminée.

Si la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse, ê est

ds* égal à h . -j— , h étant constant dans le cas où la densité du milieu

est uniforme. On a alors

S h.ds* h.ds'

g g.dt^ ddz '

partant h.ds= , ,^ , ce qui donne en intégrant,

ddz '2 h s

a étant une constante arbitraire, et c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité. Si Ton suppose nulle la résistance du milieu, ou A=o,on aura, en intégrant, Téquation à la parabole,

h y e étant des constantes arbitraires.

L'équation différentielle ddz = gdl\ donnera dV^=r=: — . dac^ ;

d'où l'on tire t = x. i / h/'. Si

mencent ensemble, on aura r— -o,y'r— o, et par conséquent,

t = x .\ — , z = ax'-\- hx; V 9 ce qui donne

Ces trois équations renferment toute la théorie des projectiles dans le vide; il en résulte que la vitesse est uniforme dans le sens horizontal, et que, dans le sens vertical, elle est la même que si le corps tombait suivant la verticale.

Si le mobile part de l'état du repos, b sera nul, et l'on aura

dz ,

la vitesse acquise croît donc comme le temps, et l'espace croît comme le carré du temps.

Il est facile, au moyen de ces formules, de comparer la force centrifuge à la pesanteur. On a vu précédemment que v étant la vitesse d'un corps mû dans une circonférence dont le rayon est r,

la force centrifuge est — . Soit h la hauteur dont il devrait tomber

pour acquérir la vitesse v; on aura, par ce qui précède, v^=2(/h;