PREMIÈRE PARTIE, LIVRE PREMIER

d'où Ton tire— =^, — . Si À = -|-r, la force centrifuge devient

égaie à la pesanteur g : ainsi un corps pesant attaché à Textrémité' d'un fil fixe par son autre extrémité, sur un pian horizontal, tendra ce fil avec la même force que s'il était suspendu verticalement, pourvu qu'il se meuve sur ce plan avec la vitesse qu'il acquerrait en tombant d'une hauteur égale à la moitié de la longueur du fil.

11. Considérons le mouvement d'un corps pesant dans une surface sphérique. En nommant r son rayon, et fixant à son centre l'origine des coordonnées x,y, z, on aura r*— a;*— j'— z*=o; cette, équation, comparée à celle-ci 11=0, donne u=:r*~a;*— j''— 2*; en ajoutant donc à l'équation (/) du n® 7 la fonction 5w, multipliée par l'indéterminée — Xrff, on aura

' équation dans laquelle on pourra égaler séparément à zéro les coefficients de chacune des variations hœ, Sj, &z, ce qui donne les trois équations suivantes :

d.i^-^:i\y.dt, } {A)

o=d.-Tj -\-'ikz.dt — gdt.

L'indéterminée X fait connaître la pression que le mobile exerce contre la surface. Cette pression est , par le n** 9 , égale à

KdaV (duV (daV

Vy ^ (37) ^ (31) '

elle est par conséquent égale à 2 . X r; or on a par le n" 8 ,

c-^2gz— jj;

c étant une constante arbitraire : en ajoutant cette équation aux équations [A] divisées par dt, et multipliées respectivement par X, y, z; en observant ensuite que, l'équation différentielle de la surface étant o=^xdx-\-y dy-^-zdz , on a

o =xddx -\- y ddy -\-zddz-^dx^ -\-'dy^ -^dz\ on trouvera

Si l'on multiplie la première des équations [A] par — y, et qu'on l'ajoute à la seconde multipliée par x, on aura, en intégrant leur somme,

xdy — ydx ,

c étant une nouvelle arbitraire.

Le mouvement du point est ainsi ramené aux trois équations différentielles du premier ordre,

xdx^ydy=-^zdz, xdy — ydx=^cdt,

jfi =c^2gz.

En élevant chaque membre des deux premières au carré , et en les ajoutant, on aura

[x'^y').{dx*-^dy')=c*dV-^z'dz'; si l'on substitue, au lieu de x*-T-y\ sa valeur r' — z\ et au lieu de

dz'-^dy' , dz'

— , -^ , sa valeur c-\-igz — t— > on aura, en supposant que le corps s'éloigne de la verticale,

dt= -^^ -î

y (r* — c*) . (c -f-2 gz) — c'