PREMIERE PARTIE, LIVRE PREMIER

dule, déterminer les variations de l'intensité de la pesanteur, dans les divers lieux de la terre.

Soit z la hauteur dont la pesanteur fait tomber les corps, pendant le temps T; on aura, par le n*" 10, 2z=gT% et par conséquent, z=j'K\r; on aura donc ainsi, avec une grande précision, au moyen de la longueur du pendule à secondes, l'espace que la pesanteur fait parcourir aux. corps , dans la première seconde de leur chute. Des expériences très-exactes ayant fait voir que la longueur du pendule à secondes est la même, quelles que soient les substances que l'on fait osciller, il en résulte que la pesanteur agit également sur tous les corps, et qu'elle tend , dans le même lieu, à leur imprimer dans le même temps la même vitesse.

12. L'isochronisme des oscillations du pendule n'étant qu'approché, il est intéressant de connaître la courbe sur laquelle un corps pesant doit se mouvoir, pour arriver dans le même temps au point où son mouvement cesse , quel que soit l'arc qu'il aura décrit depuis le point le plus bas. Mais , pour embrasser ce problème dans toute sa généralité, nous supposerons, conformément à ce qui a lieu dans la nature, que le mobile se meut dans un milieu résistant. Soit s l'arc décrit depuis le point le plus bas de la courbe, z l'abscisse verticale comptée de ce point, dt l'élément du temps, et g la pesanteur. La force retardatrice le long de l'arc de la courbe sera i"* la pesanteur décomposée suivant l'arc ds, et

qui devient ainsi égale k g -r-; 2"* la résistance du milieu, que

exprimerons par ^Itt/'Itt) étant la vitesse du mobile, et ^ (tt) é*^^^* ^"^ fonction quelconque de cette vitesse. La difiFéren-

. • dz I d$ \

tielle de cette vitesse sera, par le n** 7, égale à — (/.^ ^ (tt)'

on aura donc, en faisant dt constant,

dd$ dz ^ (ds\ /.v

nous

Supposons 9 l-^\ =iii.^-t-7i.j^,,et5=\f/ (5') ; en désignant

par \p'(5') la différence de \f/ [s), divisée par ds; et par >p' (5') celle de '^'{s)y divisée par ds; on aura

ds ds I , f M dds dds I f / f\ . ds* t» f '\

et 1 équation (/) deviendra

on fera disparaître le terme multiplié par y— , au moyen de l'équation

d'où l'on tire en intégrant,

\|/ [s] =log. h.[s-\-(i) '^\=zs,

heKj étant des arbitraires. Si l'on fait commencer 5' avec 5, on aura h(j " = 1, et si Ton fait, pour plus de simplicité, h= 1 , on aura

c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité : l'équation différentielle (/) devient alors

dds ds* , dz / /x.

En supposant s très-petit, nous pourrons développer le dernier terme de cette équation dans une suite ascendante par rapport aux puissances de s y et qui sera de cette forme : hs-\-ls'-h etc. i étant plus grand que l'unité; ce qui donne

dds ds 1 t 1 t:

0=: —f— -h m .-YT-i-ks -+- 1 s ' -i- elc.

al* ai