PREMIÈRE PARTIE. LIVRE PREMIER
Celte équation multipliée par c ^ • {cos. y f -4- y—i . sin, y t\,ei
ensuite intégrée, devient, y étant supposé égal à i /it ^ ,
c ^ . j cos, y f H- y — i .sm.yf}. -T---f-( y. y — i j .5 j
= — l.fs'dt.c " .j COS. yt-h^^—i .sin.yf j — etc.
En comparant séparément les parties réelles et les parties imaginaires, on aura deux équations au moyen desquelles on pourra
éliminer -j-- ; mais il nous suffira ici de considérer la suivante : dt
C '.-^.sin.yt+c * .5'. — .sin. yt—y. cos. yt\=^—Lfs'dt.c » . sin.yf-— etc.
les intégrales du second membre étant supposées commencer
ds avec t. Nommons T la valeur de t, à la fin du mouvement où -rr
at
est nul; on aura, à cet instant,
mT . ml
c~. 5'. jy. sin. y T — y cos. y T}= — l.fs''dt. c~ . sin. yt — etc.
Dans le cas de s' infiniment petit, le second membre de cette équation se réduit à zéro , par rapport au premier, et Ton a
o = -^ . sm. y 1 — y . cos. y 1 ; d'où Ton tire
tang-yr=^;
et comme le temps T est, par la supposition, indépendant de l'arc parcouru, cette valeur de tang. y T a lieu pour un arc quelconque, ce qui donne, quel que soit s',
mt
o=^l.f$\dt.c ' . sin.yf-f-etc.
Tintégrale étant prise depuis f=o, jusqu'à t=T. En supposant s' très-petit, cette équation se réduit à son premier^terme, et elle ne
ml
peut être satisfaite qu'en faisant /=o; car le facteur c * . sin.y ^
étant constamment positif depuis t=o jusqu'à t=T, l'intégrale précédente est nécessairement positive dans cet intervalle. Il ne peut donc y avoir de taulochronisme que dans la supposition de
ce qui donne pour l'équation de la courbe tautoclirone ,
I kds , —ns.
Dans le vide, et lorsque la résistance est proportionnelle à ia simple vitesse, n est nul, et cette équation devient gdz = ksds; équation à la cycloïde.
11 est remarquable que le coefficient n de la partie de la résistance, proportionnelle au carré de la vitesse, n'entre point dans l'expression du temps T; et il est visible, par l'analyse précédente, que celte expression serait la même, si l'on ajoutait à la
loi précédente de la résistance, les termes /> . jr; "^ 7 • 77T "^ ^t^-
Soit en général R la force retardatrice le long de la courbe, on aura
dds .,
S est une fonction du temps t et de l'arc total parcouru qui, par conséquent, est fonction de ( et de s. En différentiant cette dernière fonction, on aura une équation différentielle de cette forme,
dt ~^'
V étant une fonction de f et de 5 qui doit être nulle par la condition du problème, lorsque fa une valeur déterminée, et indépendante de l'arc total parcouru. Supposons, par exemple, V=zS .T, S étant fonction de s seul, et T étant fonction de t seul; on aura
dds^rp dS di , ç, dT dS ds^ ^ dT dr ~ ^ ' ds ' dt '^^'dt ~ Sds'dr '^^'dt '
