DE L'ÉQUILIBRE DES FLUIDES

1 7 . Pour avoir les lois de Téquilibre et du mouvement de chacune des molécules fluides, il faudrait connaître leur figure, ce qui est impossible; mais nous n avons besoin de déterminer ces lois que pour les fluides considérés en masse, et alors la connaissance des figures de leurs molécides devient inutile. Quelles que soient ces figures , et les dispositions qui en résultent dans les molécules intégrantes, tous les fluides pris en masse doivent ofirir les mêmes phénomènes dans leur équiUbre et dans leurs mouvements , en sorte que l'observation de ces phénomènes ne peut rien nous apprendre sur la configuration des molécules fluides. Ces phénomènes généraux sont fondés sur la mobilité parfaite de ces molécules, qui peuvent ainsi céder au plus léger effort. Cette mobilité est la propriété caractéristique des fluides; elle les distingue des corps solides, et sert à les définir. Il en résulte que, pour l'équilibre d'une masse fluide, chaque molécule doit être en équilibre en vertu des forces qui la sollicitent , et des pressions qu'elle éprouve de la part des molécules environnantes. Développons les équations qui résultent de cette propriété.

Pour cela, considérons un système de molécules fluides formant un parallélipipède rectangle infiniment petit. Soient x,y, z, les trois coordonnées rectangles de l'angle de ce parallélipipède, le plus voisin de l'origine des coordonnées. Soient dx, dy, dz, les trois dimensions de ce parallélipipède; nommons p la moyenne de toutes les pressions qu'éprouvent les diffîérents points de la face dy.dz du parallélipipède, la plus voisine de l'origine des

coordonnées, et p la môme quantité relative à la face opposée. Le parallélipipède, en vertu de la pression qu il éprouve, sera sollicité parallèlement à Taxe des x par une force égale à (p— p') .dy.dz. p — p est la différence de p prise en ne faisant varier que x; car, quoique la pression p agisse en sens contraire de p, cependant la pression qu éprouve un point du fluide étant la même dans tous les sens, p — p peut être considéré comme la différence de deux forces infiniment voisines et agissantes dans le même sens; on a

doncp' — p=il-^ydx; et (p — p) .dy.dz= — l-^Vdx.dy.dz.

Soient P, Q, R, les trois forces accélératrices qui animent d'ailleurs les molécules fluides, parallèlement aux axes des x, des y, et des z; si Ton nomme p la densité du parallélipipède, sa masse sera p .dx dy dz, et le produit de la force P par cette masse sera la force entière qui en résulte pour la mouvoir; cette masse sera, par conséquent, sollicitée, parallèlement à Taxe des x, par la force

pP — l-Ajl.dx.dy.dz. Elle sera pareillement sollicitée, parallèlement aux axes des y et des z, par les forces

pQ — Ij-^l.dx.dy.dz, et IpR — l-r^jl.dx.dy.dz;

on aura donc, en vertu de l'équation [b) du n° 3,

OU hp=p.\P.8x-hQ. 5j-4-jR . 5 c { .

Le second membre de cette équation doit être, comme le premier, une variation exacte; ce qui donne les équations suivantes aux différences partielles,

( d.pP \ { d.pQ \ ( d.pP \ ( d.pR \ ( d.pQ \ ( d.pR \

[ dy )-[ dx )^ \ dz )-[ dx j' [ dz )-y~dr)''

d'où l'on tire

o=P. (5f) -Q. Q +«. (^) P. (^) +Q. (ï) fl . (i^y