PREMIÈRE PARTIE, LIVRE PREMIER

Cette équation exprime la relation qui doit exister entre les forces P, Q, R, pour que Féquilibre soit possible.

Si le fluide est libre à sa surface , ou dans quelques parties de cette surface, la valeur de p sera nulle dans ces parties; on aura donc Sp=o, pourvu que Ton assujettisse les variations Sx, 5j, Sz à appartenir à cette surface; ainsi, en remplissant ces conditions, on aura

o=P.8x'+'Q.8y-hR.8z.

Soit Stt=o, Téquation différentielle de la surface, on aura

P.8x-hQ.8y-\-R.8z=\.8u,

X étant une fonction de x,y, z; d*où il suit, par le n° 3, que la résultante des forces P, Q, R, doit être perpendiculaire aux parties de la surface dans lesquelles le fluide est libre.

Supposons que la variation P.8x-hQ.hy-+'R.8z, soit exacte, ce qui a lieu par le n° 2, lorsque les forces P, Q, R, sont le résultat de forces attractives. Nommons alors S(p cette variation; on aura 8p=p.B (p ; p doit donc être fonction de p et de <p; et, comme en intégrant cette équation différentielle on a (p en fonction de p, on aura p en fonction de p. La pression p est donc la même pour toutes les molécules dont la densité est la même; ainsi hp est nul relativement aux surfaces des couches de la masse fluide dans lesquelles la densité est constante, et Ton a, par rapport à ces surfaces,

o — P.hx-^-Q.hy^R.hz.

Il suit de là que la résultante des forces qui animent chaque molécule fluide est, dans l'état d'équilibre, perpendiculaire à la surface de ces couches que l'on a nommées pour cela couches de niveau. Cette condition est toujours remplie si le fluide est homogène et incompressible, puisque alors les couches auxquelles cette résultante est perpendiculaire sont toutes de même densité.

Pour Téquilibre d*uiie masse fluide homogène dont la surface extérieure est libre , et qui recouvre un noyau solide fixe et de figure quelconque, il est donc nécessaire et il suffît, i^ que la diffiérentielle P.Src-t-Q.Sy-j-jR.Sz soit exacte; a** que la résultante des forces à la surface extérieure soit dirigée vers cette sur-; face, et lui soit perpendiculaire.