PREMIÈRE PARTIE, LIVRE PREMIER

tives aux forces attractives dirigées vers des points fixes sont, par le n"" 8, des intégrales exactes. Cela est également vrai par rapport aux parties qui dépendent des attractions mutuelles des corps du système; car si Ton nomme/ la distance de ?r à m', mF, l'attraction de nî sur m, la partie de m-(Pd[ic-f-Q^j-hjR(/z), relative à l'attraction de m' sur m, sera, par le numéro cité, égale à — mm.Fdf, la différence (Z/ étant prise en ne faisant varier que les coordonnées x, y, z. Mais la réaction étant égale et contraire à faction, la partie de m. [P'dx-{'Q'dy'-hR'dz)y relative à fattraction de m sur m', est égale à — mmFdf, en ne faisant varier dans f que les coordonnées x', y', z ; la partie de la fonction S. m [PdX'+'Qdy'^Rdz)y relative à fattraction réciproque de m et de m, est donc — mm.Fdf, tout étant supposé varier dans/. Cette quantité est une différence exacte, lorsque F est une fonction de/, ou lorsque fattraction est comme une fonction de la distance, ainsi que nous le supposerons toujours; la fonction ^.m.[Pdx-hQdy'i-'Rdz) est donc une différence exacte, toutes les fois que les forces qui agissent sur les corps du système sont le résultat de leur attraction mutuelle, ou de forces attractives dirigées vers des points fixes. Soit alors d(p, cette différence, et nommons r, la vitesse de m, v celle de m', etc. on aura

J:.mv'=c^2(p. [R)

Cette équation est analogue à féquation [g) du n"" 8; elle est la traduction analytique du principe de la conservation des forces vives. On nomme force vive d'un corps, le produit de sa masse par le carré de sa vitesse. Le principe dont il s'agit consiste en ce que la somme des forces vives, ou la force vive totale du système, est constante, si le système n'est sollicité par aucunes forces; et si les corps sont sollicités par des forces quelconques, la somme des accroissements de la force vive totale est la même, quelles que soient les courbes décrites par chacun de ces corps,

pourvu que leurs points de départ et d'arrivée soient les mêmes. Ce principe n a Heu que dans les cas où les mouvements des corps changent par des nuances insensibles. Si ces mouvements éprouvent des changements brusques, la force vive est diminuée d'une quantité que Ton déterminera de cette manière. L*analyse qui nous a conduits à l'équation (P) du numéro précédent donne alors, au lieu de cette équation, la suivante :

. dx 4 rfy ^ V dz ,. ^ 1 i-r-v ^ dx dy ^ dz

A. -y-, A. -7^, et A.-T-, étant les dulerences de -r-, :y7-, et -rr»

dt dt dt dt dt dt

d'un instant à l'autre , différences qui deviennent fmies lorsque les mouvements des corps reçoivent des altérations finies dans un instant. On peut supposer dans cette équation,

hx=dx-h^.dx, hy=r.dy'^^ .dy^ hz = dz-^-\ .dz;

parce que les valeurs de dx, dy, dz, se changeant dans Tinstant suivant, dans dx-+-^.dx, dy-h^.dy, dz-\-\.dz, ces valeurs de Src, 5j, Sz, satisfont aux conditions de la liaison des parties du système; on aura ainsi

— :S.m.\P.{dx^^.dx)-hQ.{dy-i'^.dy)-hR.{dz-hA.d2) \.

Celte équation doit être intégrée comme une équation aux différences finies relative au temps t dont les variations sont infiniment petites, ainsi que les variations de x, y, z, x, etc. Désignons par 2^ les intégrales finies résultantes de celte intégration, pour les distinguer des intégrales finies précédentes, relatives à l'ensemble des corps du système. L'intégrale de mP.[dx'\-\.dx) est visiblement la même qnefmP.dx; on aura donc

c„„sume=s.„,.ïïiii*^i2+s,2.™.i(A.jy+(A.ir)V(A.^)-j

— ^l.f.m.iP.dx-^Q.dy-hR.dz);