PREMIÈRE PARTIE, LIVRE PREMIER

En égalant ces deux fonctions à zéro, on aura, sin.0=o; c est-àdire que le plan des x^ et des y^ coïncide alors avec celui des x et des y.

La valeur de S . m . ^^' ^"''j/'^ ^ » ^*^^* ^S^^^ ^ \/c*-hc'-\-c"%

quel que soit le plan des x et des y, il en résulte que la quantité c'-4-c*-4-c''\ est la même, quel que soit ce plan, et que le plan des x^ et des j^, déterminé par ce qui précède, est celui relativement auquel la fonction S . m . ' ^' ^f^ ^ff' — 'A est la plus

grande. Le plan dont il s'agit jouit donc de ces propriétés remarquables, savoir, i*" que la somme des aires tracées par les projections des rayons vecteurs des corps, et multipliées respective-^ ment par leurs masses, y est la plus grande possible; 2"* que la même somme, relativement à un plan quelconque qui lui est perpendiculaire, est nulle, puisque l'angle (p reste indéterminé. On pourra, au moyen de ces propriétés, retrouver ce plan, à un instant quelconque, quelles que soient les variations survenues par l'action mutuelle des corps , dans leur position respective ; de même que l'on peut facilement retrouver dans tous les temps la position du centre de gravité du système ; et par cette raison , il est aussi naturel de rapporter à ce plan les x et les y que de rapporter au centre de gravité l'origine des coordonnées.

22. Les principes de la conservation des forces vives et des aires ont encore lieu, en supposant à l'origine des coordonnées un mouvement rectiligne et uniforme dans l'espace. Pour le démontrer, nommons X, Y, Z, les coordonnées de cette origine supposée mobile, par rapport à un point fixe, et supposons,

x=X'-hx, y y =Y'-hyi j z=Z-\-Zi, x=X-hx,\ y=:Y-hyiy z=Z-+-Ziy etc.

^1* yiy ^ly ^l'y ^tc. scroiit Ics coordonnées de m, m, etc. relativement à l'origine mobile. On aura par Thypotlièse,

dclX=o^ ddY=Oj ddZ=o;

mais on a par la nature du centre de gravité, lorsque le système

est libre,

= 1, .m.\ddX-hddx^\ — 2 .m.P.dt\

o = J:.m.\ddY-{-ddy,\ — S.m.Q.rfr ,

o = S .m.\ddZ-^ddz,\ — S .m.R.dV;

l'équation [P) du n° 18 deviendra ainsi, en y substituant 5À-4-5xj, SF-f-Sjj, etc. au lieu de èx, 5j, etc.

équation exactement de la même forme que l'équation (P) , si les forces P, Q, R ne dépendent que des coordonnées x,,y„ z,, xj, etc. En lui appliquant donc l'analyse précédente, on en tirera les principes de la conservation des forces vives et des aires, par rapport à l'origine mobile des coordonnées.

Si le système n'éprouve point l'action de forces étrangères, son centre de gravité aura un mouvement rectiligne et uniforme dans l'espace, comme on l'a vu dans le n° 20; en fixant donc à ce centre l'origine des coordonnées x,y,z, ces principes subsisteront toujours. Xy Yy Z étant alors les coordonnées du centre de gravité, on aura, par la nature de ce point,

= 2. m. a:», o = S.m.ji, o = l .m.z^; ce qui donne

2é ,in . — j, — = ïT . Zt .m -4— 2» . m , — j ,

at dt dt

-2. -m- jjï — 57; .2 .m -t- 2.. m. jp ;

ainsi les quantités résultantes des principes précédents se composent, 1° des quantités qui auraient lieu si tous les corps du