PREMIÈRE PARTIE, LIVRE PREMIER

système étaient réunis à leur centre commun de gravité; 2* des quantités relatives au centre de gravité supposé immobile; et comme les premières de ces quantités sont constantes, on voit la raison pour laquelle les principes dont il s'agit ont lieu par rapport au centre de gravité. En fixant donc à ce point l'origine des coordonnées x, y, Zy x, etc. des équations (Z) du numéro précédent, elles subsisteront toujours; d'où il résulte que le plan passant constamment par ce centre, et relativement auquel la fonction

S .m. ^ — ~fr- — ■ ^st un maximum, reste toujours parallèle à luimême, pendant le mouvement du système, et que la même fonction relative à tout autre plan qui lui est perpendiculaire est nulle; Les principes de la conservation des aires et des forces vives peuvent se réduire à des relations entre les coordonnées des distances mutuelles àts corps du système. En effet, l'origine des x, des j, et des z, étant toujours supposée au centre de gravité, les équations (Z) du numéro précédent peuvent être mises sous la forme

^ -, , ( [x'-^ x ) . {df— dy) — [y'— y) . [ dx'— dx) \

( dt

c\^.m=i:.mn^.Y~''^^^^"~^'^^^^^^

On peut observer que les seconds membres de ces équations multipliées par dt expriment la somme des projections des aires élémentaires tracées par chaque droite qui joint deux corps du système, dont l'un est supposé se mouvoir autour de l'autre considéré comme immobile , chaque aire étant multipliée par le produit des deux masses que joint la droite.

Si l'on applique aux équations précédentes l'analyse du numéro 21, on verra que le plan passant constamment par l'un quel-

conque des corps du système, et relativement auquel la fonction

^.mm. r ^—^^-^ "^^r^ "^-^-^ -\ est un maximum,

reste toujours parallèle à lui-même dans le mouvement du système, et que ce plan est parallèle au plan passant par le centre

de gravité, et relativement auquel la fonction S. m. ^ — jf —

est un maximum. On verra encore que les seconds membres des équations précédentes sont nuls relativement à tout plan passant par le même corps, et perpendiculaire au plan dont il s'agit. L'équation (Q) du n** 19 peut être mise sous la forme

2 . w m . y — ^ ' ^^^--^ — ^ = const. — 2 2 . m . 2 .Jmm . Fa/;

équation relative aux seules coordonnées des distances mutuelles des corps , et dans laquelle le premier membre exprime la somme des carrés des vitesses relatives des corps du système les uns autour des autres, en les considérant deux à deux, et en supposant l'un des deux immobile, chaque carré étant multiplié par le produit des deux masses que l'on considère.

23. Reprenons l'équation [R) du n° 19; en la différentiant par rapport à la caractéristique S, on aura