m vdv.(p' (i?) = constante -+- X

équation analogue à l'équation [B] du n'' 19, et qui se change en elle, dans le cas de la nature où ^'(î;)=i. Le principe de la conservation des forces vives a donc lieu dans toutes les lois mathématiquement possibles entre la force et la vitesse, pourvu que l'on entende ^^ly force vive d'un corps le produit de sa masse par le double de l'intégrale de sa vitesse multipliée par la difiFérentielle de la fonction de la vitesse qui exprime la force.

Si l'on fait, dans l'équation (5), hx^^hx+hx'^, ^y=^y+^y',, bz=hz-h^zl, hx"=^hx-hhx'^ etc. on aura, en égalant séparément à zéro les coefficients de hx, hy, hz,

o = :^.m.\d.(^M)-Pdt\, o = :E.m.\d.(iM)-Qdt

o==^.m.\d.('i.m)^Rdt

76 MÉGANIQUE CÉLESTE.

Ces trois équations sont analogues à celles du n^ 20, d*où nous avons conclu la conservation du mouvement du centre de gravité, dans le cas de la nature, lorsque le système n est assujetti à d'autres forces qu'à Taction et à Tattraction mutuelle des corps du système. Dans ce cas, ^.mP, ^.mQ, ^.mR sont nuls, et Ton a

constante == 2 .m.-r- . f^ constante=S .m. -ri • ^^,

dt V dt V

^ dz (tiv)

constante = S . m . -rr . ■^-^-^.

dt V

m . ^ . ^-^ est égal à m (p (v) . ^, et cette dernière quantité est la

force finie du corps, décomposée parallèlement à Taxe des x; la force d'un corps étant le produit de sa masse par la fonction de ia vitesse qui exprime la force. Ainsi la somme des forces finies du système, décomposées parallèlement à un axe quelconque , est alors constante, quel que soit le rapport de la force à la vitesse, et ce qui distingue l'état du mouvement de celui du repos est qae dans ce dernier état cette même somme est nulle. Ces résultats sont communs à toutes les lois mathématiquement possibles entre la force et la vitesse; mais ce n'est que dans la loi de la nature que le centre de gravité se meut d'un mouvement rectiligne et imîfonne.

Supposons encore dans l'équation (5) ,

Zx=^— \-hxy, 8x"=-^ h^x.\ etc.

^y=— ^3j, , hy = —- hSj., etc.

la variation 5 a; disparaîtra des variations des distances mutuelles f\f\ etc. des corps du système, et des forces qui dépendent de ces quantités. Si le système est libre d'obstacles étrangers, on aura, en égalant à zéro le coefficient de 5 a;,