DES MOUVEMENTS D'UN CORPS SOUDE D£ FIGURE QUELCONQUE

25. Les équations différentielles des mouvements de translation et de rotation d*un corps solide peuvent se déduire facilement de celles que nous avons développées dans le chapitre v; mais leur importance dans la théorie du système du monde nous engage à les développer avec étendue.

Imaginons un corps solide dont toutes les parties soient sollicitées par des forces quelconques. Nommons x, y, z, les coordonnées orthogonales de son centre de gravité; x-^-x-, y-hy, z-hz, les coordonnées dune molécule quelconque dm du corps, en sorte que X, y, z soient les coordonnées de cette molécule, rapportées au centre de gravité du corps. Soient de plus P, Q, R, les forces qui sollicitent la molécule, parallèlement aux axes des Xy des y et des z. Les forces détruites à chaque instant dans la molécule dm, parallèlement à ces axes, seront par le n^ 18, en considérant Télément dt du temps comme constant ,

-(éiî^dMydm^p.dt.dm, '

-{éÈL^Vdm-^Q.dt.dm,

— ( ' ^ ' Jf — ^ \^dm -hR.dt.dm.

Il faut donc que toutes les molécules animées de forces semblables se fassent mutuellement équilibre. On a vu dans le n^ 1 5 que pour cda il est nécessaire que la somme des forces parai-

lèles au même axe soit nulle; ce qui donne les trois équations

suivantes :

c {ddx-hddx \ , ç p ,

• I 771 ) *(lTn = ij.r dm,

S . l — ^-T- — ^J .dm = S.Qdm,

ç (ddz^ddz'\ j c Dj

o . I -iji — j . dm = O.Ram;

la lettre S étant ici un signe intégral relatif à la molécule dm, et qui doit s'étendre à la masse entière du corps. Les variables Xy y y z, sont les mêmes pour toutes les molécules; on peut donc les faire sortir hors du signe S; ainsi en désignant par m la masse du corps, on aura

c ddx J ddx c ddy j ddy r, ddz j ddz

S.—^.dm=m.^j^, S.^.dm=m.^, S.^j^.dm=m.-jj^.

On a de plus, par la nature du centre de gravité,

S .x.dm=Oj S .y.dm=Oj S .z.dm=o\ parlant

5 ddx , ^ ddy' 1 ^ ddz ,

. .dm = Oy o. ,;, .am=o, o. .,, .am = o;

dt' dt* dt*

on aura donc

(luX £1 r\ I

m. -r-— =0. Jram,

m.-j^ =S.Qdm, ) [A)

m.-j-—- =^S.Rdm.

al*

Ces trois équations déterminent le mouvement du centre de gravité du corps; elles répondent aux équations du n*^ 20, relatives au mouvement du centre de gravité d'un système de corps.

On a vu dans le n° 1 5 , que pour l'équilibre d'un corps solide la somme des forces parallèles à Taxe des x, multipliées respectif