PREMIÈRE PARTIE, LIVRE PREMIER

Au moyen de ces équations, on pourra développer les premiers membres des équations [B) en fonctions de 6, >|/ et (p, et de leurs différentielles. Mais on simplifiera considérablement le calcul en observant que la position des trois axes principaux dépend de trois arbitraires que Ton peut toujours déterminer de manière à satisfaire aux trois équations

S.x'y\dm=o^ S.xz\dm=Oj S.y z\dm=o.

Soit alors

5. (/*+/«). rfm=A, S.[x'^z!'^).dm=B, S.{cé'^+y^).dm=C; et faisons pour abréger,

d(p — d'^.QX>s.B=^pdt, d \|/ . sin. B . sin. (p — ^^ • cos. (^ = qdt, d\|/.sin.0.cos. (p-i-J0. sin. <pz=rdt.

Les équations (fi) se changeront, après toutes les réductions, dans les trois suivantes :

iiç.sin.ô.sin.^-h^r.sin.fl. cos.^ — Cp.cos.6 = — N ,\ cos.>^. \Aq. cos.ô. sin. ^ -hB r. ces. 9. ces. ^ -f-C/). sin. fl } I

-h sin. 4/. { fi r. sin. 9 — Aq. ces. Çj=^ — N',\ (C) C0S.4/. jfir. sin.^ — ^4^.008. ^} i

— sin.4/. j^l^. cos.fl. sin.^H-fir. COS. 6. COS. ^H-Cp. sin. 6j= — N'^;j

ces trois équations donnent, en les différentiant et en supposant \|/ = o , après les différentiations , ce qui revient à prendre Taxe des X, infiniment près de la ligne d'intersection du plan des x et des y, avec celui des x" et des y,

d 6 . COS. 6 .[Br. ces. (p-^A q . sin. ^) -f- sin. 0.d.{B r. cos. (p-hAq. sin. (p)

— d. {Cp.cos.O)= — dN ,

d^.{Br. sin.^ — Aq . cos. ^) — dO . sin. 9 .{Br. cos.^ -f-^lç.sin. ^) -4-cos.ô. d. [Br. cos.^-f- ^ç. sin.^) -|-d.(Cp. sin.ô) = — dN',

d .{Br. sin. (p — Aq. cos. ^) — dif . cos. fl.( Br. cos. (p-h^ Aq. sin.^)

— Cp.di^. sin. e^ — dN".

Si Von fait

Cp=rp, Aqz=q\ Br=r ;

ces trois équations diflFérentielles donnent les suivantes : dp'i- ' . ■ .q'r.dt=dN. cos-0- rfiV.sîn. 6,

ff jD\

rf(^'-f- ^ rn ' ^P' dt^r. - [dis. sin. 0-\-d]S\ cos. 6) . sin. ^

-^dN\cos.<^,

dr^ ^^^^^ .pq'.dt^ - [dN. sin. -hcZiV'. cos. 0) . cos. (p

— rfiY'.sin.ip.

ces équations sont très-commodes pour déterminer le mouvement de rotation d'un corps, lorsquîl tourne à fort peu près autour de Tun des axes principaux, ce qui est le cas des corps célestes.

27. Les trois axes principaux auxquels nous venons de rapporter les angles 0, >|/ et ^, méritent une attention particulière; nous allons déterminer leur position dans un solide quelconque. Les valeurs de x, y, z du numéro précédent donnent, par le n"* 21, les suivantes :

X = X . (cos. . sin. >// . sin. ^ -h cos. \|/ . cos. <p )

-f-j. (cos. 8 . COS. -^ . sin. ^ — sin. \|/ . cos. (p) — z.sin.6. sin. <p ,

y" =x . (cos. . sin. \|/ . cos. <p — cos. \|/ . sin. <p)

-hy . (cos. 0.COS. \|/ .COS. ^-+-sin. \f/ .sin. ^) — z'.sin.ô.cos. <p,

z" =x .sin.d . sin. \|/ -f-j . sin. 6 . cos. -^ -i-z . cos. 0.

D'où l'on tire