PREMIERE PARTIE, LIVRE PREMIER

on aura

QOs.<p.S.x^z.dm — sm.(p.S.y z .dm=^[a^ — ^6*).sin.9.sin.\f/.cos.\|/ -+-/. sin, B . (cos*- \|/ — sin*. >//) -hcos. 0. (^ . cos. \|/ — h. sin. \|/) ,

sîn. (p. S.xz dm-\-cos. (^.S.y z.dm

= sin. 0.COS. Q. (a*. sin*.'v|/-4-è*.cos*. \|/ — c^-f-a/. sin.\|/.cos. xl/) (cos*. B — sin*. 0) . ((/ .sin. \|/-f-A.cos. >^).

En égalant à zéro les seconds membres de ces deux équations, on

aura

A^sin.>|/ — ly^cos.^'

tang.

(a* — 6*).sin.>|/.cos.4/-+-/.(cos*.>|/ — sin*.^/) '

H^P^^^g^ .9.sin.^/-{-A.cos.>^ .

^ ^* c* — a*.sin*.>^ — 6*.cos*.>{/ — 2/.sin.4/.cos.>|/ '

mais on a

tang. 6

en égalant ces deux valeurs de \ tang. 2 d, et en substituant dans la dernière, au lieu de tang. 6, sa valeur précédente en \f/; en faisant ensuite, pour abréger, tang. >// = w; on trouvera, après toutes les réductions, Téquation suivante du troisième degré :

Cette équation ayant au moins une racîiie réelle, on voit qu'il est toujours possible de reûdre nulles à la fois les deux quantités

COS. ^ . S.x" z\dm — sin. (p .S.y z.dvfiy

sin. <p .S .x^ z\dm-\-cos. <p .S.y z^.dm;

et, par conséquent, la somme de leurs carrés [S .x z .dmY -+-[8 .y z\dm)\ ce qui exige que Ton ait séparément

S .x" z.dm = o y S .y" z\dm = o.

La valeur de u donne celle de langle >|/ , el par conséquent c^e de tang. 6, et de Tangle 6. Il reste maintenant à déterminer Fangle <p, ce que Ton fera au moyen de la condition S.x'y'.dm = o^ qui reste à remplir. Pour cela nous observerons que si Ton substitue dans S . x'y'' .dm, àu lieu de x", y leurs valeurs précédentes, celte fonction deviendra de cette forme, J/^sin. 2(p-f-L,cos. 2^, H etL étant fonctions des angles 6 et \|/, et des constantes a", b\ c\ f, g, h; en égalant cette expression à zéro, on aura

tang.29=-^.

Les trois axes déterminés au moyen des valeurs précédentes de 0, y^^ et (p, satisfont aux trois équations

S . oo'y". rfm = G , S .X z.dm = o ^ S .y''z'.dm = o.

L équation du troisième degré en u semble indiquer trois systèmes d'axes principaux semblables au précédent; mais on doit observer que u est la tangente de langle formé par Taxe des x' et par l'intersection du plan des x et des y avec celui des x' et des y,- or il est clair que Ton peut changer les uns dans les autres les trois axes des x, des j" et des z\ puisque les trois équations précédentes seront toujours satisfaites; Téquation en u doit donc également déterminer la tangente de l'angle formé par Taxe des X et par l'intersection du plan des x et des y, soit avec le plan des X et des y", soit avec le plan des x" et des /, soit enfin avec le plan desj' et des z. Ainsi les trois racines de l'équation en u sont réelles, et elles appartiennent à un même système d*axes.

Il suit de là que généralement un solide n'a qu'un seul système d'axes qui jouissent de la propriété dont il s'agit. Ces axes ont été nommés axes principaux de rotation, à cause d*une propriété qui leur est particulière, et dont nous parlerons dans la suite.

On nomme moment d'inertie d'un corps, relativement à un axe