PREMIÈRE PARTIE, LIVRE PREMIER
quelconque, la somme des produits de chaque molécule du corps par le carré de sa distance à cet axe. Ainsi les quantités A, B,C, sont les moments d'inertie du solide que nous venons de considérer, par rapprat aux axes des x\ des y" et des /. Nommons présentement C, le moment d'inertie du même solide, par rapport à Taxe des z; on trouvera , au moyen des valeurs de x et des y du numéro précédent,
C'=A. sin*. 6. sîn*. (p -+-B . sîn*. 6. cos\ (p -h C. cos*, 6.
Les quantités sin*. 6. sin*. <p, sin*. 6. cos*. <p, et ces*. 6, sont les carrés des cosinus des angles que font les axes des x", des y et des z" avec Taxe des z; doù il suit en général que, si Ton multiplie le moment d'inertie relatif à chaque axe principal de rotation par le carré du cosinus de l'angle qu'il fait avec un axe quelconque, la somme de ces trois produits sera le moment d'inertie du solide, relativement à ce dernier axe.
La quantité C est moindre que la plus grande des trois quantités A , B, C; elle est plus grande que la plus petite de ces trois quantités; le plus grand et le plus petit moment d'inertie appartiennent donc aux axes principaux.
Soient X, Y, Z, les coordonnées du centre de gravité du solide, par rapport à l'origine des coordonnées, que nous fixons au point autour duquel le corps est assujetti à tourner, s'il n'est pas libre; x — X, y — Y et z — Z seront les coordonnées de la molécule dm du corps, relativement à son centre de gravité : le moment d'inertie, relatif à un axe parallèle à l'axe des z\ et passant par le centre de gravité, sera donc
S.\[x'—Xy^{y'—Yy\.dm;
or on a, par la nature du centre de gravité, S.x dm=mX , S.ydm=mY;\e moment précédent se réduit donc à
On aura ainsi les moments d'incrlie du solide, relativement aux axes qui passent par un point quelconque, lorsque ces moments seront connus par rapport aux axes qui passent par ie centre de gravité. On voit en même temps que le plus petit de tous les moments d'inertie a lieu par rapport à Tun des trois axes principaux qui passent par ce centre.
Supposons que par la nalure du corps les deux moments d*ineriie A et B soient égaux, on aura
C = A . sin*. -f- C . cos*. ;
en faisant donc 6 égal à l'angle droit, ce qui rend Taxe des z perpendiculaire à celui des z\ on aura C'=A. Les moments d'inertie relatifs à tous les axes situés dans le plan perpendiculaire à l'axe des z sont donc alors égaux entre eux. Mais il est facile de s'assurer que l'on a dans ce cas, pour le système de Taxe des z' et de deux axes quelconques perpendiculaires entre eux et à cet axe,
S .œy .dm = o j S .xz .dm = Oy S .y z .dm^=^o ;
car en désignant par x etj* les coordonnées d'une molécule dm du corps , rapportées aux deux axes principaux , pris dans le plan perpendiculaire à l'axe des z , et par rapport auxquels les moments d'inertie sont supposés égaux, nous aurons
S.[x'-^z^).dm = S.[y'-\-z^) . dm;
ou simplement S . x* . dm=S .y"* .dm; mais en nommant e Tangle que Taxe des x fait avec l'axe des x, on a
// tf
on a donc
X ^=x . COS. e -f- j . sm. e , y=zy\ COS. e — .r" . sin. e ;
S .xy .dm = S .X .y" .dm. (cos*. e — sin'. e)
S. (y* — X*) .dm. sin. e.cos. e = o.
I On trouvera semblablement S.xz\dm = o;S.yz'dm = o;
i tous les axes perpendiculaires à celui des z" sont donc alors des
! axes principaux; et dans ce cas, le solide a une infinité d'axes
i semblables.
i Si Ton a à la fois A=B = C, on aura généralement C=A;
c est-à-dire que tous les moments d'inertie du solide sont égaux;
> mais alors on a généralement
S .xy .dm = Oj S.xz .dm^=o y S .yz .dm=o ^
quelle que soit la position du plan des x et des y; en sorte que tous les axes sont des axes principaux. C'est le cas de la sphère : nous verrons dans la suite que cette propriété convient à une infinité d'autres solides dont nous donnerons l'équation générale.
28. Les quantités p, q, r, que nous avons introduites dans les équations (C) du n° 26 , ont cela de remarquable qu'elles déterminent la position de l'axe réel et instantané de rotation du corps , par rapport aux axes principaux. En efifet, on a, relativement aux points situés dans l'axe de rotation, dx=Oy rfy = o, dz=o; en dififérentiant les valeurs de x, y, z du n° 26, et en faisant sin. >|/ = o , après les di£Pérentiatiohs , ce qui est permis, puisque Ton peut fixer à volonté la position de l'axe des x, sur le plan des X et des y, on aura
dx'=x" .\d^ .cos,6.sin.^^d^.sin.^\+y".\d^.cos.0.cos.<p—d^.cos.Ç\
+z".d4f. sin.6=o,
dy=:zx".\ d(p.cos.6.cos.(p-'d6.s\n.0.sin.(p—d4f.cos.^\
+y\\d4f.siïï.^—d(p.cos.6.sin,(P'—d6.siïï.6.cos.<p]+z"d6.cos.6=o,
dz'= — a;*', jrfô.cos. ô.sin.(p-+-d(p.sin. d.cos.(pj
— y" .\d6 .COS. O.cos.^ — d(p.ûn.0.s\n.^\ — z" dO.sm.Bzizzo.
Si l'on multiplie la première de ces équations par — sin. (p, la se-
