DU MOUVEMENT DES FLUIDES

32. Nous ferons dépendre les lois du mouvement des fluides de celles de leur équilibre, de même que dans le chapitre v nous avons déduit les lois du mouvement d*un système de corps, de celles de l'équilibre de ce système. Reprenons donc Téquation générale de l'équilibre des fluides donnée dans le n® 17,

la caractéristique S ne se rapportant qu'aux coordonnées œ, y, z de la molécule, et n'étant point relative au temps f. Lorsque le fluide est en mouvement , les forces en vertu desquelles ses molécules seraient en équilibre sont, par le n^ 18, en supposant it constant ,

il faut donc substituer ces forces, au lieu de P, Q, R, dans l'équation précédente de l'équilibre. En désignant par h F, la variation P. S^-f-Q. Sj-f-R.Sz, que nous supposerons exacte, on aura

cette équation équivaut à trois équations distinctes, puisque les variations 8x, Sj, hz, étant indépendantes, on peut égaler séparément à zéro leurs coefficients.

Les coordonnées x,y, z, sont fonctions des coordonnées primitives et du temps t; soient a, b, c, ces coordonnées primitives.

on aura

''"= (af) • ^"-^ (sf) • "-i- (3?) -^'^

En substituant ces valeurs dans l'équation (F), on pourra égaler séparément à zéro les coefficients de Sa, S 6, 5c; ce qui donnera trois équations à différences partielles entre les trois coordonnées œ, y, z de la molécule, ses coordonnées primitives a, b, c, et le temps t. Il nous reste à remplir les conditions de la continuité du fluide. Pour cela, considérons, à Torigine du mouvement, un paraliélipipède fluide rectangle dont les trois dimensions soient da, db, de. En désignant par (p) la densité primitive de cette molécule, sa masse sera (p) .da.dt.dc. Nommons (A) ce parallélipipède : il est aisé de voir qu'après le temps f , il se changera dans un parallélipipède obliquangle; car toutes les molécules situées primitivement sur une face quelconque du parallélipipède [A) seront encore dans un même plan, du moins en négligeant les infiniment petits du second ordre : toutes les molécules situées sur les arêtes parallèles de [A] se trouveront sur de petites droites égales et parallèles entre elles. Nommons [B] ce nouveau parallélipipède, et concevons que par les extrémités de Tarêle formée par les molécules qui, dans le parallélipipède (A), composaient Tarête de, on mène deux plans parallèles à celui des x et des j. En prolongeant les arêtes de (/î) jusqu'à la rencontre de ces deux plans, on aura un nouveau parallélipipède (C), compris entre eux et égal à [B); car il est clair qu'autant l'un des deux plans retranche du parallélipipède (C), autant l'autre lui ajoute. Le parallélipipède (C) aura ses deux bases parallèles au plan des x et des j; sa hauteur comprise entre ses bases sera évidemment égale à la différence