PREMIÈRE PARTIE, LIVRE PREMIER

On peut observer que là fonction u • 5 a?-+- v . 5 j-h v . 5 z est une variation exacte de x, y,z k tous les instants, si elle l'est à un seul instant. Supposons, en effet, quà un instant quelconque elle soit égale à S ^ ; dans Tinstant suivant elle sera

elle sera donc encore, à ce nouvel instant, une variation exacte,

si I j- 1 . 8a?-t- [jj) • ^y-^ [Tf) ' ^ ^' ^^^ ^^^ variation exacte au premier instant; or l'équation [H) donne à cet instant,

(st) -^-^CS)- 'r^-(ï)■'^=*v-i-^^l(DV(DV(^•i;

le premier membre de cette équation est par conséquent une variation exacte en x,y, z; ainsi la fonction u.èx-^v.8y-^\ .8z est une variation exacte dans l'instant suivant, si elle l'est dans un instant; elle est donc alors une variation exacte à tous les instants. Lorsque les mouvements sont très-petits, on peut négliger les carrés et les produits de u, v et v; l'équation [H) devient alors

ainsi, dans ce cas, u.Sx-hv.^y-hv .8z est une variation exacte, si, comme nous le supposons, p est fonction de p; en nommant donc encore S^ cette différence, on aura

et si le fluide est homogène, l'équation de continuité deviendra

\dx*)~^\df)~^\dz*)'

Ces deux équations renferment toute la théorie des ondulations trèis-petites des fluides homogènes.

34. Considérons une masse fluide homogène douée d'un mouvement uniforme de rotation autour de Taxe des x. Soit n la vitesse angulaire de rotation , à une distance de Taxe que nous prendrons pour unité de distance; on aurat; = — nz,\ = ny; l'équation [H] du numéro précédent deviendra ainsi

équation possible, puisque ses deux membres sont des diflerences exactes. L'équation [K) du même numéro deviendra

et il est visible que cette équation est satisfaite si la masse fluide est homogène. Les équations du mouvement des fluides sont donc alors satisfaites, et par conséquent ce mouvement est possible.

La force centrifuge à la distance y/j'-f-^' de l'axe de rotation est égale au carré n\ (j'-h^*) de la vitesse, divisé par cette distance; la fonction n\ (jâj-t-zSz:) est donc le produit de la force centrifuge par l'élément de sa direction; ainsi, en comparant l'équation précédente du mouvement du fluide, avec l'équation générale de l'équilibre des fluides, donnée dans le n** 17, on voit que les conditions du mouvement dont il s'agit se réduisent à celles de l'équilibre d'une masse fluide , sollicitée par les mêmes forces, et par la force centrifuge due au mouvement de rotation; ce qui est visible d'ailleurs.

Si la surface extérieure de la masse fluide est libre, on aura 8p=o, à cette surface; et, par conséquent,