PREMIÈRE PARTIE, LIVRE PREMIER

d où il suit que la résultante de toutes les forces qui animent chaque molécule de la surface extérieure doit être perpendiculaire à cette surface; elle doit être de plus dirigée vers l'intérieur de la masse fluide. Ces conditions étant remplies , une masse fluide homogène sera en équilibre, en supposant même qu'elle recouvre un solide de figure quelconque.

Le cas que nous venons d'examiner est un de ceux dans lesquels la variation u.8x-i-v.èy-\-\.8z n est pas exacte; car alors cette variation devient — n.[z8y — yi^)\ ainsi, dans la théorie du flux et du reflux de la mer, on ne peut pas supposer que la variation dont il s*agit est exacte, puisqu'elle ne l'est pas dans le cas très-simple où la mer n aurait d'autre mouvement que celui de rotation qui lui est commun avec la terre.

35. Déterminons maintenant les oscillations d'une masse fluide recouvrant un sphéroïde doué d'un mouvement de rotation nt, autour de l'axe des a;; et supposons-la trèsnpeu dérangée de l'état d'équilibre, par l'action de forces très-petites. Soit, à l'origine du mouvement, r la distance d'une molécule fluide, au centre de gravité du sphéroïde qu'elle recouvre, et que nous supposerons immobile; soit d l'angle que le rayon r forme avec l'axe des x, et ^ l'angle que le plan qui passe par l'axe des x et par ce rayon forme avec le plan des x et des y. Supposons qu'après le temps t, le rayon r se change dans r+a^^ que l'angle se change dans O-hœu, et que l'angle "cr se change dans nt'+''0 -h clv; as, an, et av étant de très-petites quantités dont nous négligerons les carrés et les produits; on aura

x=[r-^as). COS. (0-f-au),

y = [r-h-as) . sin. (d-+-a«).cos. {/if-t-ttr-j-av),

2 = (r-t-a5). sin. (d-+-au). sin. [nt-^'ts-h-av).

Si l'on substitue ces valeurs, dans l'équation (F) du n* 32, on

aura, en négligeant le carré de a,

ar\S '\(-jp) — an.sin.Ô.cos.Ô.fg^)

A la surface extérieure du fluide, on a d^=o; on a de plus, dans l'état d'équilibre,

= — 5. î(/-T-a5).sin.(ô-f-ari)p-t-(SF);

(SV) étant la valeur de 5F qui convient à cet état. Supposons que le fluide dont il s'agit soit la mer; la variation (8 F) sera le produit de la pesanteur multipliée par l'élément de sa direction. Nommons g la pesanteur, et ay l'élévation d'une molécule d*eau de sa surface, au-dessus de sa surface d'équilibre, surface que nous regarderons comme le véritable niveau de la mer. La variation (S F) croîtra par cette élévation, dans l'état de mouvement, de la quantité — ag.Sy, parce que la pesanteur est à fort peu près dirigée dans le sens des ay, et vers leur origine. En désignant ensuite par a S F, la partie de 5 F relative aux nouvelles forces qui , dans l'état de mouvement, sollicitent la molécule, et qui dépendent, soit des changements qu'éprouvent par cet état les attractions du sphéroïde et du fluide, soit des attractions étrangères; on aura à la surface

BV={hV)—ag.hy-^a.8V\

La variation — . 5 . \[r-has) . sin . (0-4-att)|* croît de la quantité (xn\hy.r.sm\d, en vertu de la hauteur de la molécule d'eau,