PREMIÈRE PARTIE, LIVRE PREMIER

36. Appliquons ces résultats aux oscillations de la mer. Sa masse étant homogène, on a |o'=o , et, par conséquent,

a . COS. 6

/d.r*s\ . {fda\ , /dv\

sin.

Supposons, conformément à ce qui paraît avoir lieu dans la nature, la profondeur de la mer très-petite relativement au rayOn r du sphéroïde terrestre; représentons- la par y, y étant une fonction très-petite de et de tïT, qui dépend de la loi de cette profondeur. Si Ton intègre Téquation précédente, par rapport à r, depuis la surface du solide que la mer recouvre , j usqu à la surface de la mer, on voit que la valeur de s sera égale à une fonction de 6, ^ts et t, indépendante de r, plus, à une très-petite fonction qui sera, par rapport à a et à v, du même ordre de petitesse que la fonction -; or, à la surface du solide que la mer recouvre, lorsque

les angles ô et lar se changent dans 0-f-au, et /if-4-'cy-+-av, il est aisé de voir que la distance d'une molécule d'eau, contiguë à cette surface, au centre de gravité de la terre, ne varie que d'une quantité très-petite par rapport à a a et a t;, et du même ordre que les produits de ces quantités par l'excentricité du sphéroïde recouvert par la mer : la fonction indépendante de r qui entre dans l'expression de s est donc très-petite du même ordre; ainsi l'on peut négliger généralement s, vis-à-vis de u et de v. L'équation du mouvement de la mer à sa surface, donnée dans le n"" 35, devient par là

r\ ^^- ("j^) — 2 n.sin.O ,cos.O .(^\ ^^^tir.|sin^e.(^)-4-2n.si^.e.cos.Ô.(~)j = — i/.Jj^-eîF'; {M)

l'équation (L) du même numéro, relative à un point quelconque de l'intérieur du fluide, donne, dans l'état d'équilibre,

o=^.5.i(r-t-a5).sin. (ô-^att)|*-H(SF)— li^;

(S F) et (5/)) étant les valeurs de S F et de Sp, qui dans Tétat d'équilibre conviennent aux quantités r-f-a5, 6-^ au, et 'cr-f-at;. Supposons que dans Tétat de mouvement on ait

l'équation (L) donnera

L'équation (M) nous montre que '^^ (77) est du même ordre que

j ou 5, et par conséquent de Tordre — ; la valeur du premier

membre de cette équation est donc du même ordre; ainsi, en multipliant cette valeur par dr, et en l'intégrant depuis la surface du sphéroïde que la mer recouvre, jusqu'à la surface de la mer,

on aura F' — — égal à une fonction très-petite, de l'ordre — ,

plus à une fonction de 0, « et t, indépendante de r, et que nous désignerons par X; en n'ayant donc égard, dans l'équation (L) du n*" 35, qu'aux deux variables 6 et "cs, elle se changera dans l'équation (il/), avec la seule différence que le second membre se changera dans SX. Mais X étant indépendant de la profondeur à laquelle se trouve la molécule d'eau que nous considérons; si l'on suppose cette molécule très-voisine de la surface, l'équation (L) doit évidemment coïncider avec l'équation (M); on a donc

et, par conséquent,

la valeur de 5 F' dans le second membre de cette équation étant