LIVRE ONZIEME

le même centre et les mêmes foyers, et qui vpasserait.par le point attiré, comme la masse du premier sphéroïde est à la masse du second. Il restait, pour compléter cette théorie, à déterminer Tattraction d'un ellipsoïde sur un point quelconque placé au dehors. M. Legendre, dans le tome X des Savants étrangers, la fait, à l'égard des ellipsoïdes de révolution, par une analyse ingénieuse et savante, qui donne .pour tous les sphéroïdes de révolution un rapport très-simple entre leur attraction sur un point placé dans le prolongement de leur axe de révolution, et leur attraction sur .un point placé (dans le prolongement d'un rayon quelconque, à la même distance du centre. Helativement aux ellipsoïdes de révolution, ce rapport fait voir que le quotient de l'attraction sur un point quelconque extérieur, divisée par la masse, est le même pour tous les ellipsoïdes de révolution qui ont le même centre et les mêmes foyers; et comme l'attraction à la surface est donnée par les théorèmes de Maclaurin, il ne s'agit, pour avoir l'attraction sur un point quelconque au dehors, que de faire passer par ce point un des ellipsoïdes, ce qui est facile. Il était naturel d'étendre ce résultat aux ellipsoïdes qui ne sont pas de révolution. Mais sa démonstration présentait beaucoup de difficultés. Je l'ai donnée, le premier, dans un ouvrage sur la Théorie du mouvement elliptique et de la figure des planètes, qui parut en 1784, et dans mon Traité de mécanique céleste. Ayant établi un rapport général entre les attractions d'un sphéroïde sur un point quelconque extérieur, et ses attractions sur les points placés dans le prolongement d'un de ses axes et dans le plan perpendiculaire k cet axie, j'en ai déduit une nouvelle démonstration du résultat dont il s'agit. Enfin M. Ivory est parvenu au même résultat par une transformation très-heureuse des coordonnées, sans recourir. aux séries. Tel a été le progrès des recherches par lesquelles les géomètres sont parvenus à une théorie complète des attractions des ellipsoïdes.

12 MÉGANIQUE CÉLESTE.

Maclâurin a fait voir qu'une masse fluide homogène, tournant autour d*un axe, pouvait être rigoureusement en équilibre avec une figure elliptique. Mais y a-t-il d'autres figures d'équilibre, lorsque le sphéroïde est très-peu différent delà sphère? J'ai prouvé, sans connaître sa figure, que la pesanteur à sa surface suit la même loi que si cette figure était celle d'un ellipsoïde de révolution. M. Legendre a fait voir ensuite que si la figure est de révolution, elle doit, pour l'équilibre, être elliptique ; et j'ai reconnu que cela est exact, sans supposer une figure de révolution. Mais d'Alembert a prouvé que plusieurs figures elliptiques d'équilibre correspondent à une même durée de rotation. J'ai démontré ensuite qu'il n'y en a que deux, et j'ai déterminé la limite de la durée de rotation que la masse peut avoir sans se dissiper. Mais le véritable problème à résoudre consiste à déterminer la figure qu'une masse fluide doit prendre, lorsque ses molécules ayant été primitivement animées de forces quelconques , elles parviennent, à la longue, par leur frottement mutuel et par leur ténacité, à un état fixe d'équilibre. J'ai fait voir, dans le troisième livre de la Mécanique céleste, que le fluide finit par prendre la figure d'un ellipsoïde de révolution dont l'équateur est le plan primitif du maximum des aires décrites par chaque molécule autour du centre de gravité de la masse. Le mouvement de rotation , ainsi que les axes de l'ellipsoïde de révolution ,. sont déterminés par ce maximum : il y a toujours une figure possible d'équilibre, et il n'y en a qu'une.

Enfin , j'ai donné , dans les Mémoires de l'Académie des sciences pour l'année 1782, et dans le troisième livre de la Mécanique céleste, une théorie générale des attractions des sphéroïdes. La fonction qui exprime la somme des molécules attirantes divisées respectivement par leurs distances au point attiré a l'avantage d'exprimer, par ses différences partielles, la résultante de ces attractions décomposées suivant une direction quelconque. J'ai