LIVRE TREIZIÈME

les produits de quatre dimensions de ces quantités, et les produits des troisièmes puissances de l-\-mt\ par sin*.e, sinVe';

a{i—2l')-\-a\i—2[l—{m—m)t"Yl ^b\i — 2{l^mfy\ — 2h{l^mf). ' (B)

Aux instants de la haute et de la basse mer, cette fonction est à son maximum et à son minimum; sa différentielle, prise par rapport au temps t, est donc nulle. On ne doit y faire varier que / et t\ le temps T de la syzygie devant être supposé constant; et alors on a

dl=[n — m) dt, dt" = dt;

on a donc

0 = — 4a/(n — m) — lial[n — m') -\- l\a[n — m!).[m! — m) {

— inh — klnh — l\nmh{ ; (C)

ce qui donne

y « {n—m). a'\m^ m) i'+[[n--m) a+[n—m) a].mf— j nh

[n^m),a + [n—rn)a + nb

La fonction (B) donnera ainsi cette expression fort approchée de la hauteur de la pleine mer,

a-ha -t-i —

A' 2ha(m—m)t"

On peut, dans Tensemble d'un grand nombre de syzygies, supposer le terme

2ha{m-'m)i" a+a+b

alternativement positif et négatif, en sorte que la somme de ses diverses valeurs soit nulle et puisse être négligée : cela est d'autant plus permis que ce terme est fort petit, l'un des deux termes de son expression étant multiplié par sin\ e, et l'autre étant multiplié par sin*. e. De plus, ayant négligé les termes qui ont pour facteur sin^-^e', nous pouvons, à plus forte raison, négliger le

— A* terme —, 7— r ; la formule précédente devient ainsi

a-^ol^b *- ^ "r'"-^.K-m)'.f". (D)

3. Introduisons présentement les inégalités du mouvement et de la distance des astres dans l'expression de la hauteur des marées. Pour cela, développons le terme de la fonction (6) du n® 2, rapportée à la lune,

j-T^.sin\d.cos^.\e.cos.[2nt-h 2^ — 2^').

Soit /. sin.(5fH-0') une des inégalités du mouvement lunaire, et h.cos.[st-+'6') l'inégalité correspondante du rayon vecteur r de la lune; ces deux inégalités introduisent dans le terme précédent les termes

|^.8in«.0.cos*.|e'.r {f-^h).cos.{2nt-^2'r,-2m't-st-e')-\ àr' * [(±A-+-/).cos.(anfH-2'Bï— 2m'f-f-5f-h0')J

r étant la moyenne distance de la lune à la terre. Ces termes donnent naissance à deux flux partiels que l'on peut considérer

comme produits par Taction de deux astres mus uniformément dans le plan de Téquateur, à la distance r, et dont les masses sont respectivement

L'.cjos\\e.{f—\h), L'.cos\|e'.(|A-f-/),

leurs moyens mouvements étant im '^ — j.f, et irn — -■)•'• On a vu précédemment que le terme

-rrrr;. cos*.Ye'.sin*.0. cos.(2nf-h2'CT — irnt)

produit dans Texpression de la hauteur de la mer le terme

•nwt

(n-m'a;).-^7r-cos*.Ye'. cos.[int-\-i'Ui — imt-^-imy — 27).

D est facile d'en conclure que les termes dus à l'action des astres supposés produisent dans cette expression les termes

[i-h(m'-^i)a:].^.cos\ie'.[/— |A] x

cos-fant-f-atsT — imt — st — & — 2yH-2(m'H — \y\

[^,+^„»'l):,j.:^'.co8».ie'.[/+|A]x

cos.(2nf-H2« — 2m'f-+-5f-f-0' — 27 -h 2 fin' — ")y)-

Nous avons supposé, au moment de la haute mer,

nt — m't-h'CT — yH-my=:i'7r-H/',

' étant un nombre entier. Les deux termes précédents de- ^^nent ainsi

i+|m'-i- -jx L-TTT-.cos'. J e' .{f— \h) cx)s.{2l' — st— 6' + s^)

r, + (m'-^)a;l:^.cos\-i-e'.(/+|A)cos.(2/'+sf+0'-5y). On a, par ce qui précède,

ce qui réduit les deux termes précédents à ceux-ci,

ïi + lm'+i\x\.^.cos\ie.{f-{h)cos.{sT + e'+st''-2l')

ïi^rn'-^\x\.y^.cos\{e'.{f-^ik)cos.{sT + e'+st"+2l').

Ces deux termes développés en séries ajouteront donc à l'expression (B) de la hauteur des marées la quantité

... a' [3/1 — -^1 COS. (sT-h B')

I^a différentielle de cette quantité, prise par rapport au temps t et divisée par dty doit être ajoutée au second membre de Téquation (C) du numéro précédent, pour avoir Tinstant de la haute