LIVRE QUATORZIÈME

terrestre, des pôles à Téquateur, comme le système d'un nombre infini de satellites, vit bientôt que l'attraction solaire devait faire rétrograder les nœuds des orbites qu'ils décrivent, comme elle fait rétrograder les nœuds de la lune, et que l'ensemble de ces mouvements devait produire un mouvement rétrograde dans l'intersection de l'équateur de la terre avec l'écliptique. Voici comment il détermine ce mouvement.

Ce grand géomètre, supposant la terre homogène, la conçoit formée, i*" d'une sphère intérieure dont le diamètre est l'axe des pôles; 2** de l'excès du sphéroïde terrestre sur cette sphère. Il imagine d'abord cet excès réuni autour de l'équateur sous la forme d'un anneau détaché du globe, en conservant toujours son mouvement de rotation. Il trouve qu alors ses nœuds auraient sur l'écliptique un mouvement rétrograde qui serait au mouvement rétrograde des nœuds de l'orbe lunaire comme le jour sidéral est à la durée d'une révolution sidérale de la lune; résultat exact et que l'on peut facilement déduire de l'expression différentielle de la précession des équinoxes, donnée dans le n*" 4 du cinquième livre, en y supposant, comme Newton l'a fait d'abord , l'inclinaison de l'écliptique sur l'équateur très-petite. Newton remarque ensuite que l'anneau, par son adhérence à l'équateur du globe terrestre, doit communiquer à la masse entière de ce globe une très-grande partie du mouvement rétrograde de ses nœuds, qui par là se trouve extrêmement alTaibli. Mais de quelle manière cette communication doit-elle se faire? Quel est le mouvement rétrograde qu elle produit dans l'intersection de l'équateur et de l'écliptique? C'est dans la solution de ces deux questions que consiste la principale difficulté du problème.

Il était naturel que Newton fît usage, pour cet objet, de la règle suivante qu'il a donnée dans le scolie qui termine l'exposition de la troisième loi du mouvement ou de l'égalité de l'action à la réaction , dans l'ouvrage des Principes.

« Si Ton estime Taction de Tagent par sa force multipliée par « sa vitesse, et que Ton estime pareillement la réaction du corps « résistant par les vitesses de chacune de ses parties, multipliées « respectivement par les forces qu'elles ont pour résister en vertu « de leur cohésion, de leur attrition, de leur poids et de leur accé- « lération : l'action et la réaction se trouveront égales dans les effets « de toutes les machines. »

Pour appliquer cette règle à la question présente, il faut observer que la force imprimée à Tanneau par l'action solaire est égale à la masse de l'anneau, multipliée par son mouvement de précession. Ainsi l'action de l'agent sur le corps résistant ou sur le globe terrestre est ici le produit de cette masse par son mouvement de précession, diminué de la précession qui lui reste et qui lui est commune avec le globe, et par sa vitesse, qui est celle de rotation de la terre à l'équateur. Chaque molécule du globe reçoit une force égale à son accélération multipliée par sa masse; et, en vertu de la cohésion des molécules, cette accélération est la précession terrestre multipliée par la distance de la molécule à l'axe des pôles, la moitié de cet axe étant prise pour unité. La vitesse de la molécule est la vitesse de rotation à l'équateur, multipliée par cette distance; la réaction du corps résistant est donc égale à la somme des produits de chaque molécule, par le carré de sa distance à l'axe, par la précession terrestre, et parla vitesse de rotation à l'équateur. Newton eût pu facilement déterminer cette somme : en égalant ensuite l'action de l'agent à la réaction du corps résistant, il aurait trouvé la précession terrestre égale à la précession primordiale de l'anneau, multipliée par le rapport de la masse de l'anneau à celle de la terre, et par le facteur \. Au lieu de ce vrai facteur. Newton déduit de considérations inexactes le facteur l'unité divisée par ^ du carré de la demi-circonférence dont le rayon est l'unité. En supposant, comme Newton l'a fait d'abord, l'excès du sphéroïde terrestre sur la sphère dont le diamètre est

Taxe des pôles réuni sous la forme d'un anneau à Téquateur, on obtient une précession plus grande que la véritable; car l'action du soleil sur les molécules de cet excès, pour faire rétrograder les équinoxes, est plus petite et a moins d'énergie que dans cette hypothèse : il faut donc diminuer la précession qui en résulte. Newton, dans la première édition de son ouvrage des Principes, la réduisait au quart; depuis, il ne l'a réduite qu'aux deux cinquièmes; ce qui est exact. Il la multiplie ensuite par le cosinus de {'inclinaison de l'écliptique à l'équateur, pour tenir compte de cette inclinaison, ce qui est encore exact. Ainsi la solution newtonienne du problème de la précession des équinoxes n'est en défaut que par le facteur erroné dont je viens de parler, facteur qui réduit la précession au-dessous de la moitié de sa vraie valeur. Il est vraisemblable que ce grand géomètre eût rectifié cette erreur capitale, mais bien excusable dans le premier inventeur, si, moins livré à des occupations d'un tout autre genre, il eût donné une attention plus particulière aux découvertes des géomètres du continent, telles que le principe par lequel Jacques Bernoulli a déterminé les oscillations des pendules composés, et le principe des vitesses virtuelles, publié sans démonstration par Jean Bernoulli, principes dont le premier a une grande analogie avec la règle énoncée ci-dessus, et dont le second est une généralisation de cette règ^e. Mais alors la correction de son erreur lui eût fait éprouver quelque difficulté à concilier avec l'observation son résultat de la précession des équinoxes, qui par là devenait beaucoup trop grand. Pour avoir la précession totale, il faut ajouter la précession solaire à la précession lunaire; et pour obtenir celle-ci, Newton multiplie la première par le rapport de l'action lunaire sur ce phénomène à l'action solaire. Ce rapport est le même que le rapport de ces actions sur les marées. Newton , dans la première édition de ses Principes, le trouvait, par les observations des marées, égal à 6 y. Il l'a réduit ensuite à 4,48 1 5. L'incertitude des

observations dont il a fait usage lui permettait de le diminuer encore; et Ton a vu dans le treizième livre, que des observations très-nombreuses des marées, faites chaque jour à Brest, pendant seize années consécutives, et discutées avec un soin particulier, donnent ce rapport égal à 2 j; ce qui rapproche considérablement de l'observation la formule newtonienne de la précession, corrigée de son erreur. Newton eût pu remarquer encore que l'hypothèse de l'homogénéité de la terre est peu vraisemblable, et qu'il est naturel de penser que les couches du sphéroïde terrestre croissent en densité à mesure qu'elles se rapprochent du centre. C'est ce. qu'il supposait dans la première édition de ses Principes; mais il croyait que cette supposition rendait la terre plus aplatie, et par conséquent augmentait la précession des équinoxes; ce qui est entièrement contraire aux résultats de l'analyse, qui a fait voir qu'en rectifiant toutes ces erreurs la théorie de Newton devenait parfaitement conforme à l'observation.

Newton a remarqué l'inégalité de la nutation produite par l'action du soleil, et dont la période est de six mois; mais il se contente d'observer qu'elle est très-petite. Il n'a point considéré les inégalités de la précession et de la nutation, dépendantes du mouvement des nœuds de l'orbe lunaire. Dans la production de ces inégalités, l'action lunaire, déjà insensible dans les inégalités de ce genre, qui sont indépendantes de l'inclinaison de cet orbe, est multipliée par cette petite inclinaison; et il fallait une analyse délicate et très-épineuse pour reconnaître que les expressions de ces inégalités acquièrent par les intégrations un très-petit diviseur qui les rend sensibles. Ainsi la théorie qui, perfectionnée, a sur beaucoup de points devancé l'observation, a été sur ce point devancée par elle. Bradley dut à une longue suite d'observations la découverte de la nutation de l'axe terrestre, découverte l'une des plus remarquables et des plus importantes de l'astronomie, en ce qu elle affecte toutes les observations des astres. Ce grand