LIVRE QUATORZIÈME

distance r, de Tastre L au centre de la terre, on aura, en ne portant l'approximation que jusqu'aux termes de Tordre —^ ,

3L fdm{xx'+yy'+2z'y

T étant la masse entière de la terre. En substituant pour x, y, z leurs valeurs précédentes, on trouvera

y^LT . SL

r.» V ^i-h2A(7.cos.0— Z.sin.0)sin.2(p j

H|£(2C— i — B)[A«H-(r.cos.0— Z.sin.e)'— fr.'],

X, Y, Z étant les coordonnées x, y, z de Tastie L rapportées par la supposition de \|/ nul, à Téquinoxe du printemps, et aux deux axes perpendiculaires à la ligne des équinoxes; Técliptique fixe d'une époque donnée étant prise pour le plan fixe.

Quoique cette expression ne renferme point explicitement Tangle \|/, elle le renferme implicitement, parce que les coordonnées X et F en dépendent. Si Ton nomme /{ la projection du rayon r, sur Técliplique, et v Tangle que cette projection fait avec Taxe fixe d*où Ton compte les angles , on aura

A = jR. COS. (v -4- >|/) , y = /i. sin. (v -h >//) , d'où Ton tire

par conséquent

Les équations (F) donneront ainsi

Cdp+(B-A) nrdt=^B-A)\ K^* cos.0-Z.sin.0)'-A«] sin. a ^ j

Ail (C—B\ dt—^^^Uc B\\ (^-cos.ô— Z.sin.0)(y.sin.0+Z.cos.0)cos.^| f^ + K )pr - r,^ [ '\-X{Y.sin.e+Z.cos.d)sin.<p ('

Dj /* /^ j* 3Ld^/. ^( A(r.sin.ô+Z. cos.ô)cos.0 )

Ces équations sont identiquement les équations (G) du n*" 4 du cinquième livre. Elles donnent, en les intégrant, les valeurs de ^, \|/ et 0 au moyen des équations suivantes données dans le n° 26 du premier livre

d(p — d-^. cos.d =pdt, d-^. sin.O. sin. ^ — dO. cos. ^ = (jdt, d-^. sin.0. COS.9 -t-^^- sin.^ = rdt.

On peut substituer ^, au lieu de p, dans les termes (C — B) pr

et — (C — 4) p9, des équations (F); car la différence ^ — p étant

égale à j-. cos.O, et les valeurs de q et de r, étant de Tordre de -jr

et -7-, on ne fait que négliger des termes de Tordre des carrés et

des produits des différentielles d-^ et dd, et qui de plus ont les facteurs très-petits C — il, et C — B. Cela posé, si Ton multiplie la seconde des équations (F) par cos.^, et quon retranche le produit de la troisième de ces équations, multipliée par sin.^, on formera la suivante :

-T-) [ dT—)

(i4— jB\ j /a.cos.0+r.sin.0\ C.^(r. cos.p-)-,.sm.p) = (^j.