LIVRE QUATORZIÈME

le n** 1 du Supplément au Traité de mécanique céleste, les expressions diflFérentielles des éléments d'une ellipse variable, par une force perturbatrice R. Cette force est augmentée par la considération de l'aplatissement de la terre, de la fonction — V\ comme il est facile de le voir par le numéro cité. Il résulte encore des expressions différentielles du demi-grand axe et de l'excentricité e, que la partie de V dont je viens de parler ne produit aucun terme sensible dans ces expressions; en sorte que l'on peut supposer, relativement à cette partie, a et ^ constants. L'équation (2)

donne donc, en y substituant pour — ^-jr- — 1 sa valeur précédente; en désignant par S0 et Sy, les nutations de l'équateur terrestre et de l'orbe lunaire, et en observant que -7- peut être

négligé relativement à S0 qui, par l'intégration, a acquis pour diviseur le très-petit coefficient du temps, dans l'expression du mouvement des nœuds de l'orbe lunaire; enfin, en négligeant le carré e\

nC. 80. sin.0 = — rp — r . a\ m. hy. sïn.y.

Telle est la relation fort simple qui existe entre les nutations de l'équateur terrestre et de l'orbe lunaire. On a, par le n° 5 du livre V,

n.C 30. sin.6 = —— . -i^ (2 C — k — B) sin.0- cos.6. cos. [f't-+- ê) ,

c étant l'inclinaison de l'orbe lunaire, que nous désignons ici par y, et — ft — ê étant la longitude de son nœud ascendant. On a

on aura donc, en comparant les deux expressions précédentes de Sd, et désignant/'f par [g — i)mt,

^y = —J^*' {gliyr ^sin.g.cos.g.cos.[(ff— i)m^f-t-g].

On a, par le n° 2 du livre V,

aC— 4— B=f T{oLh — ia(^)I>,

ah étant Tellipticité du sphéroïde terrestre, a^ le rapport de la force centrifuge à la pesanteur, à Téquateur; et D étant le rayon moyen du sphéroïde terrestre ; on a donc

5yr= — (aA — |a(?)-.— ^-p— .cos.[(^— i)mf-+-6].

Soient

H. sin.(û-4-A) H-fiT'. sin.(('f-|- A') -f- etc.

les inégalités de la latitude de la lune dépendantes de l'aplatissement de la terre; les angles it-hk, it-hk\ étant rapportés, comme la longitude A du nœud ascendant de Torbite lunaire, à Téquinoxe du printemps. La latitude lunaire étant

y.sin.(m'f — A),

sa variation relative aux variations de ses éléments sera

hy. sin.(m'f — A) — ySk. cos.[m't — A) , ou

sin.m'f (Sy. cos.A — yS A. sin.A) — COS. mt (Sy. sin. A -h ySX . cos. A) .

En régalant à la fonction

H. sin.(if-+- k) -hH'. sm.{i't-hk') ■+- etc.

mise sous cette forme,

sin. m't \H. cos.[(i — m')t-\-k]-\-H'. cos.[(i'— m') t-\-k']-\- etc.j ■+■ COS. m't \H. sin.[(i — m') t-hk]-hH. sm.[{i — m) t -+- k']-+- etc. j,

on aura

<Jy.C08.A— y3A.sin.A= H.cos.[{i—m') t+k] + H'.cos.[{i'-m') t+k']+ etc. Sy.sin.A+y3A.cos.A=-H.sin.[(i-m') t+k]- H', sin. [{i'— m!) t+k]— etc.

Si Ton multiplie la première de ces équations par cos.A, et qu'on l'ajoute à la seconde multipliée par sin. A, on aura

3y=H. cos.[A + (i- m') t+k] + H'. cos.[A + (l'-m') t+ k'] + etc.

En comparant cette valeur de èy à la précédente, on aura

(i — m')f-i-ft=o, rj /i 1 />\ ^* sin.ô.cos.ô

H=-a(h-i(p)-. ^^ ; 1^=0 y etc.

^ inégalités lunaires en latitude dues à Taplatissement de la **** se réduisent ainsi à la suivante,

/ 1 1 /^\ O* sin. ô. COS. ô . , — {ah—ia(p).-.—j—^.sm.mt;

^ cjui est conforme à ce que j*ai trouvé dans le chapitre ii du

Des inégalités de la précession et de la nutation de Téquateur terrestre, dépendantes de la quatrième puissance des parallaxes du soleil et de la lune.

4. Si Ton nomme v la déclinaison d'un astre L, v sa longitude à Téquinoxe du printemps, y^ la distance de cet équinoxe à une ligne fixe sur Técliptique, F' la somme des produits de la masse L de l'astre par chaque molécule dm de la terre, divisée par la distance de cette molécule au centre de L; enfin si l'on nomme T la masse de la terre, et r la distance de son centre à celui de L, on aura, par le n"" 35 du troisième livre,

F = — -^ '-^^ L.TL (sm*i; — |)

H- ^. TL (sin*.t; — y. sin.v) -i- etc.

en supposant que le rayon terrestre soit

i—ah (ft*— i) -^cuj (ft* — Ift) -f- etc. (X étant le sinus de la latitude terrestre. Le terme

--^-^ — (sm'.v — y. sm.v)

est le terme que la considération de la quatrième puissance de la parallaxe de L ajoute à l'expression de V donnée ci-dessus. Pour en déterminer la valeur, nous observerons que s étant la latitude de L, y l'inclinaison de son orbite, et A la longitude de son nœud ascendant, on a

sin.t; = cos.0. sin. 5 -hsin.ô. sin. V. COS. 5, tang. s = tang. y . sin . (v — A ) .

Ces équations donnent