LIVRE QUINZIÈME

de ces corps à trois axes fixes perpendiculaires entre eux, et décomposer, parallèlement à ces axes, les attractions qu'il éprouve de la part des autres corps. En égalant ensuite les différences secondes des coordonnées, divisées par le carré de l'élément du temps, supposé constant, à ces attractions ainsi décomposées, on aura les trois équations diflPérentielles du second ordre, qui déterminent le mouvement du corps. Chaque corps du système fournit trois équations semblables, en sorte que le nombre de ces équations est triple de celui des corps. Leurs intégrales complètes renferment donc six fois autant d'arbitraires qu'il y a de corps. Ces constantes sont déterminées par les coordonnées initiales de chaque corps, et par ses vitesses initiales suivant ces coordonnées.

On a presque toujours besoin de rapporter les corps du système à un corps principal. Il suffit, pour cela, de retrancher les équations différentielles de son mouvement, suivant chaque coordonnée, des équations différentielles correspondantes du mouvement des autres corps, dont on aura ainsi les équations différentielles relatives à leurs mouvements autour du corps principal.

On na pu obtenir jusqu'ici que sept intégrales des équations difiPérentielles du mouvement du système. Les trois premières sont finies et ne sont qu'une traduction du beau théorème de Newton sur le mouvement du centre de gravité d'un système de oorpsqui n'éprouvent point d'actions étrangères. Les quatre autres intégrales, données par les principes des aires et des forces vives, sont différentielles du premier ordre : elles sont une généralisation de la loi des aires proportionnelles au temps et de l'expresâon du carré de la vitesse, que Newton a trouvées dans le mouvement du système de deux corps. Le problème de ce mouvement ert ainsi ramené à fintégration d'équations différentielles du premier ordre, qu*il est facile ensuite d'inlégrer par les quadratures. C'est ce que Newton a développé avec une grande élégance, sous one forme synthétique. Mais, dans le cas d'un plus grand nombre

de corps, le problème présente d'extrêmes difficultés. Heureusement la constitution du système solaire apporte des simplifications considérables qui permettent de résoudre ce problème par des approximations convergentes.

Les planètes, comme nous Tavons déjà dit, se meuvent autour du soleil dans des orbes peu excentriques et peu inclinés à Técliptique. De plus, leurs masses sont fort petites relativement à la masse de cet astre. En négligeant donc leur action sur le soleil et sur elles-mêmes, on a, par une première approximation, le mouvement elliptique dont Newton a développé les lois. Si l'on considère ensuite cette action, en négligeant les carrés et les produits des masses planétaires, on a une seconde approximation qui peut être ordonnée suivant les puissances et les produits des excentricités et des inclinaisons des orbites. En considérant de la même manière les carrés et les produits des masses des planètes, on obtient une troisième approximation , et ainsi de suite. Le mouvement des satellites autour de leur planète offre des simplifications semblables. L'action perturbatrice du soleil est toujours peu considérable par rapport à l'action directe de la planète sur ces corps, quoique l'action du soleil sur eux soit fort grande. Mais leur distance à la planète étant très-petite relativement à la distance de la planète au soleil, cet astre attire à peu près de la même manière la planète et ses satellites , en sorte que la force perturbatrice de leurs mouvements relatifs, qui n'est que la différence de ces diverses attractions du soleil, est fort petite par rapport à l'attraction de la planète sur ses satellites. Malgré toutes ces simplifications , les divers problèmes de la théorie des perturbations des planètes et des satellites présentent de grandes difficultés dont la solution exige des considérations délicates et minutieuses, soit pour choisir les coordonnées qui doivent donner, dans les divers cas, les approximations les plus convergentes, soit pour démêler, dans le nombre infini des inégalités, celles qui, quoique très-