TOME V

relatives à l'inclinaison de lorbile et à la longitude de son nœud : elles sont différentielles du premier ordre. Euler ne donne point, dans sa. pièce, l'analyse qui l'a conduit à ces équations. La commission nommée par l'Académie pour juger cette pièce, et dont Clairaut et d'Alembert étaient membres, persuadée que la formation d'équations diflFérentielles propres aux approximations et aux usages astronomiques était l'un des points les plus intéressants de la théorie des perturbations, témoigna ses regrets de ce que l'auteur se fût contenté de présenter ces équations sans les démontrer. L'analyse par laquelle il y est parvenu est exposée dans deux de ses mémoires, dont le premier parut, enayAg, dans les Mémoires de l'Académie de Beriinpour la même année; le second parut, en lyôo, dans le volume des Mémoires de l'Académie de Pétersbourg pour les années 1 747 et 1748. On y voit que le procédé d'Euler consiste à transformer les équations diflFérentielles du second ordre, relatives aux coordonnées parallèles à trois axes fixes perpendiculaires; entre eux, en quatre autres qui se rapportent aux coordonnées précédentes, et à combiner ces équations différentielles, ainsi transformées, de manière à obtenir les équations diflTérentielles qu'il a présentées dans sa pièce. Le premier des deux mémoires cités est surtout remarquable en ce que ce grand géomètre y parvient aux équations diflPérentielles du premier ordre, de' l'inclinaison et de la longitude du nœud, en faisant varier les constantes arbitraires qui expriment ces deux éléments dans l'orbite invariable : c'est le premier essai de la méthode de la variation des constantes arbitraires.

Euler considère d'abord les perturbations indépendantes des excentricités et des inclinaisons. Pour cela, il développe les forces perturbatrices en sinus et cosinus d'angles croissants comme le temps. Mais ce développement, sans lequel la formation des tables astronomiques des planètes devenait impossible, présentait une diflfi culte que ce grand géomètre a très-heureusement surmontée.