LIVRE QUINZIÈME

Elle consiste à développer les puissances du radical qui exprime la distance mutuelle des deux planètes, dans une série d angles multiples de leur élongation. Euler donne des expressions élégantes des divers termes de ce développement, et de plus une relation très-simple entre trois termes consécutifis, au moyen de laquelle on peut facilement conclure des deux premiers termes tous les suivants. Il fait la remarque importante que cette série, quoique peu convergente pour Jupiter et Saturne, le devient beaucoup par les diviseurs que ses divers termes acquièrent en vertu des intégrations.

Euler ne considère, dans sa pièce, que les perturbations du mouvement de Saturne par l'action de Jupiter. Il suppose d'abord les deux orbites dans un même plan, et il détermine les perturbations du rayon vecteur et de la longitude, en faisant abstraction des excentricités des orbites. Les résultats auxquels il parvient sont peu différents de ceux que j'ai donnés dans le sixième livre. Il considère ensuite les inégalités dépendantes des excentricités des orbites. Ici de graves erreurs de calcul, qui ne tiennent point à sa méthode, rendent ses résultats inexacts. Les deux seules inégalités de ce genre qu'Euler détermine, et qui sont en eflPet les plus grandes de cet ordre, ont pour argument, la première, l'élongation de Saturne à Jupiter, moins l'anomalie de Saturne; la seconde, le double de cette élongation, moins l'anomalie de Jupiter. Il trouve à cette dernière inégalité un signe contraire à son véritable signe. La comparaison des observations avec sa formule de la longitude de Saturne lui lit voir qu'elles s'en écartent considérablement, mais qu'elles s'en rapprochent beaucoup si l'on diange le signe de cette inégalité. Soupçonnant alors qu'il s'était trompé dans son calcul, il le revit, mais sans en reconnaître l'erreur, et il en conclut que la loi newtonienne de l'attraction réciproque an carré des distances devait être modifiée. Dans le môme temps, Clairaut tira la même conclusion en appliquant l'analyse

diflPérentielle au mouvement de l'apogée lunaire. Mais cet illustre géomètre ayant porté plus loin les approximations, reconnut bientôt que la loi newtonienne donne le véritable mouvement de cet apogée. Dès lors tous les géomètres, et Euler lui-même, admirent cette loi sans aucune restriction , quoique plusieurs phénomènes astronomiques, tels que les grandes irrégularités de Jupiter et de Saturne, et l'accélération du moyen mouvement de la lune, leur parussent inexplicables en vertu de cette loi : plutôt que de la modifier, ils préférèrent de recourir à des causes étrangères.

Euler détermine le mouvement de l'aphélie de Saturne, mais sa formule est inexacte. En considérant les inégalités dépendantes de l'excentricité de l'orbite de Jupiter, l'intégration des équations différentielles lui donna une inégalité en longitude, dont le coefficient croît proportionnellement au temps, et dont l'argument est la distance de Saturne à l'aphélie de Jupiter. L'apparition de cet arc de cercle l'embarrassa; mais, dans un supplément à sa pièce, il reconnut que cette inégalité, atteignant son maximum dans le même temps à peu près que l'équation du centre de Saturne, pouvait être représentée par une diminution séculaire de l'excentricité de l'orbite de cette planète. On verra bientôt par quel moyen ce grand analyste a fait disparaître cet arc.

, Enfin Euler détermine les variations du nœud et de l'inclinaison de l'orbite de Saturne sur l'orbite de Jupiter supposée fixe. Il fait voir que l'inclinaison moyenne reste constante, mais que le nœud rétrograde sans cesse, et il donne l'expression exacte de ce mouvement rétrograde. En transportant ses formules au mouvement de l'orbite terrestre produit par l'action de Jupiter, il en conclut la variation correspondante de la latitude des étoiles, et il en forme une table dont l'argument est la longitude de l'étoile. Ce grand géomètre n'ayant point eu égard à l'action de Vénus, dont l'influence sur ce phénomène est plus grande que celle de Jupiter, sa table est incomplète; mais elle est la première de ce genre.